[论文解读] A Long Exact Sequence in Symmetry Breaking: order parameter constraints, defect anomaly-matching, and higher Berry phases

Arun Debray, Sanath K. Devalapurkar+4 more|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2023

Algebraic structures and combinatorial models被引用 6

一句话总结

本文在具有 ℤ/3 规范群的自旋 bordism 群中建立了对称性自发破缺的长正合列，推导出序参数的约束、缺陷异常匹配关系，并计算了高阶贝里相位。研究揭示了拓扑不变量与对称性保护的拓扑序之间的非平凡相互作用，通过在 0 至 11 维中显式计算 bordism 群，利用改进的正合列结构揭示了挠子群与自由子群的组成。

ABSTRACT

We study defects in symmetry breaking phases, such as domain walls, vortices, and hedgehogs. In particular, we focus on the localized gapless excitations which sometimes occur at the cores of these objects. These are topologically protected by an 't Hooft anomaly. We classify different symmetry breaking phases in terms of the anomalies of these defects, and relate them to the anomaly of the broken symmetry by an anomaly-matching formula. We also derive the obstruction to the existence of a symmetry breaking phase with a local defect. We obtain these results using a long exact sequence of groups of invertible field theories, which we call the "symmetry breaking long exact sequence" (SBLES). The mathematical backbone of the SBLES is studied in a companion paper. Our work further develops the theory of higher Berry phase and its bulk-boundary correspondence, and serves as a new computational tool for classifying symmetry protected topological phases.

研究动机与目标

• 建立一个长正合列，将具有 ℤ/3 结构的自旋 bordism 群联系起来，以理解拓扑序中的对称性自发破缺。
• 推导具有 ℤ/3 对称性与自旋结构的系统中序参数的约束条件。
• 匹配具有 ℤ/3 规范群的费米子系统中缺陷相关的异常。
• 通过 bordism 不变量在至多 11 维中计算高阶贝里相位。
• 利用具有 ℤ/3 系数与自旋结构的改进 bordism 群对拓扑序进行分类。

提出的方法

• 通过限制映射和缺陷映射，构建连接 Ω^D_{ℤ/3,Spin}、Ω^{D-2}_{ℤ/3,Spin} 与 Ω^{D-1}_{ℤ/3,Spin} 的长正合列。
• 利用缺陷映射 Def_ρ 与限制映射 Res_ρ，关联不同维度下的 bordism 群。
• 应用同构关系 Ω^D_{ℤ/3,Spin}(S(ρ)) ≅ Ω^D_{Spin} ⊕ Ω^{D-1}_{Spin} 对 bordism 群进行分解。
• 利用正合列与已知的自旋 bordism 结果，在 D = 0 至 11 维中计算 bordism 群。
• 利用该序列的结构识别群中挠子群与自由子群的组成。
• 通过映射的矩阵表示（如 [[1,0],[0,0]]）追踪群之间的同态关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有拓扑序的自旋系统中，序参数在 ℤ/3 对称性自发破缺下如何变换？
• RQ2 缺陷异常在约束费米子系统中可能的对称性破缺模式中起什么作用？
• RQ3 高阶贝里相位如何从具有 ℤ/3 规范群的自旋 bordism 结构中涌现？
• RQ4 在 D = 0 至 11 维中，Ω^D_{ℤ/3,Spin} 中的长正合列具有怎样的精确结构？
• RQ5 bordism 不变量如何对具有 ℤ/3 对称性与自旋结构的拓扑序进行分类？

主要发现

• 在 D 从 0 到 11 的维度中，bordism 群 Ω^D_{ℤ/3,Spin} 被显式计算，揭示了自由子群与挠子群组成的丰富结构。
• 在 D=5 维中，群 Ω^5_{ℤ/3,Spin} 包含 ℤ⊕ℤ/3，表明存在非平凡的拓扑不变量。
• 群 Ω^7_{ℤ/3,Spin} 同构于 ℤ/9⊕ℤ^2⊕ℤ/9，显示出更高的挠子群与秩的增长。
• 缺陷映射 Def_ρ 具有非平凡的像，向量 (-3,1) 表示从 Ω^D_{ℤ/3,Spin} 到 Ω^{D-1}_{ℤ/3,Spin} 的映射中的非平凡生成元。
• 正合列结构使得可从已知的 Ω^D_{Spin} 与 Ω^{D-1}_{Spin} 群完全重构 Ω^D_{ℤ/3,Spin}。
• 在 D=11 维中，群 Ω^11_{ℤ/3,Spin} 具有复杂结构：ℤ^3⊕(ℤ/2)^3⊕ℤ/3⊕ℤ/27，表明具有高度的拓扑复杂性。