[论文解读] A looped-functional approach for robust stability analysis of linear impulsive systems

Corentin Briat, Alexandre Seuret|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2012

Control Systems and Identification参考文献 31被引用 241

一句话总结

本文提出了一种循环泛函方法，用于线性脉冲系统的鲁棒稳定性分析，允许使用非单调的李雅普诺夫函数，并得到不含指数项的线性矩阵不等式（LMI）条件。该方法可高效分析确定性和不确定脉冲系统的常驻时间，包括非周期性和区间常驻时间情形，相较于现有方法具有更高的计算效率和更广的适用性。

ABSTRACT

A new functional-based approach is developed for the stability analysis of linear impulsive systems. The new method, which introduces looped-functionals, considers non-monotonic Lyapunov functions and leads to LMIs conditions devoid of exponential terms. This allows one to easily formulate dwell-times results, for both certain and uncertain systems. It is also shown that this approach may be applied to a wider class of impulsive systems than existing methods. Some examples, notably on sampled-data systems, illustrate the efficiency of the approach.

研究动机与目标

• 解决现有基于李雅普诺夫的方法在脉冲系统中所面临的局限性，特别是LMI中存在指数项，这会损害数值鲁棒性和可扩展性。
• 克服在指数项中存在块矩阵不确定性时分析不确定脉冲系统的困难，因为目前的标准方法对此无能为力。
• 开发一种框架，仅通过关注脉冲时刻函数的下降行为，实现非单调连续时间李雅普诺夫函数，从而容忍脉冲之间的瞬态上升。
• 在不确定线性脉冲系统中，实现对最小和最大常驻时间约束以及区间常驻时间条件的鲁棒稳定性分析。
• 通过在连续时间泛函框架中利用离散时间稳定性准则，将该方法扩展到更广泛的脉冲系统类别，包括采样数据系统和网络化控制系统。

提出的方法

• 引入循环泛函作为一类新型李雅普诺夫型泛函，仅在脉冲时刻评估系统的能量，从而允许脉冲之间出现非单调行为。
• 在连续时间框架中嵌入离散时间李雅普诺夫准则，以制定稳定性条件，确保李雅普诺夫函数在每个脉冲时刻均下降。
• 推导出在常驻时间上为仿射且不含指数项的LMI条件，从而实现高效的数值求解和鲁棒性分析。
• 通过考虑系统矩阵 $ A \times J $ 的凸包，将该框架应用于不确定系统，确保在不确定性集合内所有组合均保持稳定。
• 利用循环泛函在离散时间与连续时间稳定性之间的隐式对应关系，将离散时间稳定性条件转换为连续时间LMI约束。
• 构建一个复合李雅普诺夫函数，同时包含连续动态和跳跃行为，其中矩阵变量 $ P, Z_j, Q_j, U_j, R_j, N_j $ 参数化了泛函结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否开发一种基于泛函的方法，以分析线性脉冲系统的鲁棒稳定性，而无需在LMI条件中引入指数项？
• RQ2 在函数于脉冲之间上升的情况下，非单调连续时间李雅普诺夫函数在脉冲系统稳定性分析中的适用程度如何？
• RQ3 所提出的该方法能否处理不确定脉冲系统中的最小和最大常驻时间约束，以及区间常驻时间区间？
• RQ4 与基于网格划分的方法或特征值分析相比，该循环泛函方法在计算效率和保守性方面表现如何，以确定可接受的常驻时间？
• RQ5 该框架能否扩展至分析更广泛的脉冲系统类别，包括来自采样数据系统和网络化控制系统的系统？

主要发现

• 所提出的循环泛函方法得到的LMI条件在常驻时间上为仿射且不含指数项，从而支持高效且鲁棒的数值计算。
• 对于不确定系统 $ A \notin \text{co}\big\lbrace \begin{smallmatrix}1&3\\-1&2\\2&2\\0&6\\\text{co}\big\rbrace $，该方法计算出最大可接受常驻时间的下界为 $ T_{\text{max}}^{\text{ℓ}} = 0.1148 $，虽略为保守，但相比网格划分方法具有更高的计算效率。
• 在非周期情形下，相同方法得到 $ T_{\text{max}}^{\text{ℓ}} = 0.1148 $，表明其具有一致性和鲁棒性，且无需在常驻时间区间上进行密集网格划分。
• 对于具有不确定 $ J \notin \text{co}\big\lbrace \begin{smallmatrix}1.3&0\\0&0.25\\1.1&0\\0&0.5\\\text{co}\big\rbrace $ 的区间常驻时间情形，该方法得到 $ T_{\text{min}}^{\text{u}} = 0.2625 $ 和 $ T_{\text{max}}^{\text{ℓ}} = 0.5761 $，与特征值分析所得真实区间 $[0.2624, 0.5776]$ 非常接近。
• 该方法推广至比现有方法更广泛的脉冲系统类别，包括具有非周期脉冲和块矩阵不确定性的系统。
• 该框架可轻松扩展至非线性系统、高阶李雅普诺夫函数以及 $ T $-依赖李雅普诺夫函数，表明其在广义线性时不变系统之外具有广阔的应用前景。