[论文解读] A Low Order Finite Element Method for Poroelasticity with Applications to Lung Modelling

Lorenz Berger|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2016

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 60被引用 4

一句话总结

本论文提出了一种用于多孔弹性问题的稳定低阶有限元方法，采用分段常数压力和连续分段线性位移与通量，实现了在复杂生物组织中对尖锐压力梯度的精确模拟。该方法在小变形与大变形两种情形下均实现了最优收敛性与稳定性，通过严格的数值测试得到验证，并应用于一个真实的肺部模型，成功再现了生理状态下的潮气呼吸及气道狭窄时的组织响应。

ABSTRACT

In this thesis we develop a stabilised finite element method for solving the equations of poroelasticity to enable solving complex models of biological tissues such as the human lungs. For the proposed numerical scheme, we use the lowest possible approximation order: piecewise constant approximation for the pressure, and piecewise linear continuous elements for the displacements and fluid flux. Due to the discontinuous pressure approximation, sharp pressure gradients due to changes in material coefficients or boundary layer solutions can be captured reliably. We begin by developing theoretical results for approximating the linear poroelastic equations valid in small deformations. In particular, we prove existence and uniqueness, an energy estimate and an optimal a-priori error estimate for the discretised problem. We then extend this work and construct a stabilised finite element method to solve the poroelastic equations valid in large deformations. We present the linearisation and discretisation for this nonlinear problem, and give a detailed account of the implementation. We rigorously test both the linear and nonlinear finite element method using numerous test problems to verify theoretical stability and convergence results, and the method's ability to reliably capture steep pressure gradients. Finally, we derive a poroelastic model for lung parenchyma coupled to an airway fluid network model, and develop a stable method to solve the coupled model. Numerical simulations, on a realistic lung geometry, illustrate the coupling between the poroelastic medium and the network flow model, and simulations of tidal breathing are shown to reproduce global physiologically realistic measurements. We also investigate the effect of airway constriction and tissue weakening on the ventilation, tissue stress and alveolar pressure distribution.

研究动机与目标

• 开发一种鲁棒的低阶有限元方法用于多孔弹性问题，能够准确捕捉具有不连续材料属性的生物组织中的尖锐压力梯度。
• 通过采用一致线性化与牛顿迭代的稳定化格式，将该方法扩展至大变形情形。
• 将多孔弹性模型与流体网络模型耦合，以实现对真实肺部通气过程的模拟。
• 通过基准问题与生理模拟验证该方法的稳定性、收敛性与准确性。

提出的方法

• 采用分段常数压力近似与连续分段线性形函数对位移和流体通量进行近似，从而高效且稳定地逼近陡峭梯度。
• 采用混合有限元格式并引入稳定化技术，以满足inf-sup条件并确保混合格式的适定性。
• 采用Galerkin最小二乘稳定化技术对混合系统进行稳定化处理，尤其针对压力变量。
• 采用带有自适应时间步长的牛顿-拉夫森格式求解非线性大变形多孔弹性问题。
• 通过界面条件将多孔弹性求解器与一维流体网络模型耦合，以模拟气道流动与实质组织的变形。
• 使用libMesh与PETSc进行并行有限元组装与求解，采用MUMPS作为直接求解器，GMRES/CG用于大规模问题的迭代求解。

实验结果

研究问题

• RQ1 采用不连续压力近似的低阶有限元方法是否能可靠捕捉异质多孔弹性介质中的尖锐压力梯度？
• RQ2 所提出的稳定化混合有限元方法在标准假设下是否对线性多孔弹性问题实现了最优收敛性与稳定性？
• RQ3 如何将有限元方法扩展至处理多孔弹性中的大变形问题，同时保持稳定性与准确性？
• RQ4 耦合的多孔弹性-流体网络模型是否能再现真实肺部几何结构中生理上合理的通气模式？
• RQ5 气道狭窄与组织变弱对肺部模型中区域通气、应力分布与肺泡压力有何影响？

主要发现

• 稳定化的低阶有限元方法实现了最优先验误差估计，并在小变形多孔弹性问题中表现出鲁棒的收敛性。
• 该方法即使在低阶单元下，也能成功捕捉由材料跳跃与边界层引起的陡峭压力梯度。
• 数值测试结果证实了该方法在小变形与非线性多孔弹性问题中的理论稳定性与收敛速率。
• 耦合的多孔弹性-流体网络模型在真实肺部几何结构中成功再现了潮气呼吸过程中的整体生理测量结果。
• 模拟结果表明，气道狭窄会增加区域组织应力并改变肺泡压力分布，而组织变弱则降低通气效率。