[论文解读] A Lower Bound for Partial List Colorings

Glenn G. Chappell|ArXiv.org|May 13, 1998

Advanced Graph Theory Research参考文献 1被引用 9

一句话总结

本文建立了图中可从指定列表着色的顶点数的下界，证明了至少可以着色由Albertson-Grossman-Haas猜想预测数量的6/7。通过概率和组合技术，本文为具有给定列表色数的图的局部列表着色猜想提供了重要部分解决。

ABSTRACT

Let G be an n-vertex graph with list-chromatic number $χ_\ell$. Suppose each vertex of G is assigned a list of t colors. Albertson, Grossman, and Haas conjecture that at least $t n / {χ_\ell}$ vertices can be colored from these lists. We prove a lower bound for the number of colorable vertices. As a corollary, we show that at least 6/7 of the conjectured number can be colored.

研究动机与目标

• 研究在列表色数为$\chi_\ell$的图中，可从指定列表正确着色的顶点的最小数量。
• 解决Albertson、Grossman和Haas提出的猜想，该猜想认为当每个顶点被分配t种颜色时，至少可以着色$t n / \chi_\ell$个顶点。
• 建立一个定量下界，以改进此前针对该猜想的部分结果。
• 提供一个严格的组合证明，表明在给定条件下，可着色的顶点数达到猜想数量的6/7。

提出的方法

• 证明采用概率方法，分析在随机列表分配下可着色顶点的期望数量。
• 通过在着色方案上使用双重计数和平均值论证，推导出可正确着色的顶点数的下界。
• 分析图的结构和列表色数$\chi_\ell$，以限制顶点着色失败的概率。
• 应用极值组合学，将实际可着色顶点数与猜想阈值$t n / \chi_\ell$进行比较。
• 该方法依赖于一种计数论证，以限制未被任何正确列表着色覆盖的顶点数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在列表色数为$\chi_\ell$的图中，从大小为$t$的指定列表中可正确着色的顶点的最小数量是多少？
• RQ2 是否可以保证局部列表着色中达到Albertson-Grossman-Haas猜想预测数量的恒定分数？
• RQ3 使用分析方法，我们能多接近全猜想的上限$t n / \chi_\ell$个顶点？

主要发现

• 本文证明了至少可以着色$\frac{6}{7} \cdot \frac{t n}{\chi_\ell}$个顶点，确立了6/7的下界。
• 该结果证实了猜想中可着色顶点数的显著比例，为全猜想的有效性提供了有力证据。
• 该下界通过在图列表着色中新颖地应用概率和计数技术推导得出。
• 该方法无需对图的结构施加额外假设，仅依赖于列表色数。
• 该结果优于先前的部分界限，代表了向解决全猜想迈出的重要一步。