[论文解读] A lower bound for the minimum deviation of the Chebyshev polynomial on a compact real set

Klaus Schiefermayr|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2013

Mathematical functions and polynomials参考文献 11被引用 36

一句话总结

本文建立了实轴上任意紧致无限子集 $ C \subset \mathbb{R} $ 上切比雪夫多项式最小偏差 $ L_n(C) $ 的一个精确下界 $ 2(\text{cap } C)^n $，其中 $ \text{cap } C $ 为对数容量。该下界是最优的，当且仅当集合 $ C $ 为某个 $ n $ 次多项式的 $[-1,1]$ 的逆像时取等。此外，通过与切比雪夫多项式及容量理论的联系，本文还得到了单位圆上关于实轴对称的紧致集的类似结果。

ABSTRACT

In this paper, we give a sharp lower bound for the minimum deviation of the Chebyshev polynomial on a compact subset of the real line in terms of the corresponding logarithmic capacity. Especially if the set is the union of several real intervals, together with a lower bound for the logarithmic capacity derived recently by A.Yu.\,Solynin, one has a lower bound for the minimum deviation in terms of elementary functions of the endpoints of the intervals. In addition, analogous results for compact subsets of the unit circle are given.

研究动机与目标

• 建立以对数容量表示的实紧集上切比雪夫多项式最小偏差的精确下界。
• 刻画使该下界取等的实紧集类。
• 将结果推广至单位圆上关于实轴对称的紧致子集。
• 利用近期的容量估计，为区间的并集提供仅用区间端点的初等函数表示的显式下界。

提出的方法

• 推导一个关键恒等式：对于在 $ n $ 次多项式下为 $[-1,1]$ 的逆像的集合 $ A $，有 $ L_n(A) = 2(\text{cap } A)^n $。
• 应用交错定理，表明实紧集 $ C $ 上的最小多项式将 $ C $ 映射到更大的实集 $ C' \subset \mathbb{R} $，其中 $ C' $ 是归一化最小多项式下 $[-1,1]$ 的原像。
• 利用 $ C' $ 上的最小多项式与 $ C $ 上相同这一事实，从而可应用逆像恒等式。
• 通过 Robinson 公式建立实集 $ C $ 的对数容量与其在单位圆上对应弧 $ \Gamma $ 的容量之间的联系：$ \text{cap } \Gamma = \sqrt{2 \cdot \text{cap } C} $。
• 应用关于区间并集的最小偏差已知界（如 Totik 的结果），推导出 $ L_n(\Gamma) $ 的上界，最终得到以 $ \text{cap } \Gamma $ 表示的上界。
• 利用切比雪夫多项式及其在对称集上取实值的性质，推导单位圆上 $ L_n $-范数的不等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于任意紧致无限子集 $ C \subset \mathbb{R} $，切比雪夫多项式最小偏差 $ L_n(C) $ 的最佳可能通用下界是什么？该下界以对数容量 $ \text{cap } C $ 表示。
• RQ2 在哪些实紧集上，下界 $ L_n(C) \geq 2(\text{cap } C)^n $ 取等？
• RQ3 如何以对数容量表示单位圆紧致子集上的最小偏差，特别是当该集合关于实轴对称时？
• RQ4 能否仅用区间端点的初等函数，为区间的并集 $ C $ 推导出 $ L_n(C) $ 的显式下界？

主要发现

• 本文建立了精确下界：对所有紧致无限子集 $ C \subset \mathbb{R} $，有 $ L_n(C) \geq 2(\text{cap } C)^n $，且常数 2 是最优的。
• 当且仅当 $ C $ 是某个 $ n $ 次多项式下 $[-1,1]$ 的逆像时，等式 $ L_n(C) = 2(\text{cap } C)^n $ 成立。
• 对于集合 $ E_\alpha = [-1,-\alpha] \cup [\alpha,1] $（其中 $ 0 < \alpha < 1 $），当 $ n $ 为偶数时等式成立，此时 $ L_n(E_\alpha) = \frac{1}{2^{n-1}}(1 - \alpha^2)^{n/2} $，且 $ \text{cap } E_\alpha = \frac{1}{2}\sqrt{1 - \alpha^2} $。
• 对于单位圆上关于实轴对称的紧致集 $ \Gamma \subset \{ |z| = 1 \} $，有下界 $ L_n(\Gamma) \geq \sqrt{2|b_{k^*}|}(\text{cap } \Gamma)^{n - k^*} $，其中 $ k^* $ 为 $ \Gamma $ 上最小多项式第一个非零系数的指标。
• 对于单位圆弧 $ \Lambda $，建立了上界 $ L_n(\Lambda) \leq B(\text{cap } \Lambda)^n $，其中 $ B $ 仅依赖于 $ \Lambda $，表明容量的多项式衰减。
• 通过结合逆像恒等式与 Solynin 最近得到的对数容量下界，将结果推广至区间的并集，得到了以区间端点表示的显式边界。