[论文解读] A lower bound for the tree-width of planar graphs with vital linkages

Isolde Adler, Philipp Klaus Krause|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2010

Advanced Graph Theory Research参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文建立了平面图中关键连接链路的树宽的单指数下界，证明了 $(2^k+1)\times(2^k+1)$ 网格不足以保证在不相交路径问题中存在无关顶点。该构造产生唯一解，需使用所有顶点及网格的 $2^k-1$ 次交叉，证明此类图的树宽和路径宽至少为 $2^{k-1}+1$。

ABSTRACT

The disjoint paths problem asks, given an graph G and k + 1 pairs of terminals (s_0,t_0), ...,(s_k,t_k), whether there are k+1 pairwise disjoint paths P_0, ...,P_k, such that P_i connects s_i to t_i. Robertson and Seymour have proven that the problem can be solved in polynomial time if k is fixed. Nevertheless, the constants involved are huge, and the algorithm is far from implementable. The algorithm uses a bound on the tree-width of graphs with vital linkages, and deletion of irrelevant vertices. We give single exponential lower bounds both for the tree-width of planar graphs with vital linkages, and for the size of the grid necessary for finding irrelevant vertices.

研究动机与目标

• 建立包含关键连接链路的平面图的树宽下界，这是不相交路径问题固定参数可满足算法中的关键组成部分。
• 证明为保证平面图中无关顶点存在的网格尺寸至少随 $k$ 呈指数增长，挑战现有算法的实用性。
• 构造一个包含 $k+1$ 对终端的平面图，其唯一解使用所有顶点并使路径在网格上交叉 $2^k - 1$ 次，证明无任何顶点是无关的。
• 为罗伯特森与塞缪尔森的树宽与路径宽定理中函数 $f(k)$ 和 $g(k)$ 提供具体的下界。

提出的方法

• 构造一个包含 $(2^k+1)\times(2^k+1)$ 网格 $\mathfrak{G}$ 的平面图 $G$，并将终端 $s_i$ 和 $t_i$ 置于边界上，以强制路径产生递增的交叉次数。
• 安排终端使得 $P_0$ 不交叉网格，$P_1$ 交叉一次，且 $P_{i+1}$ 的交叉次数为 $P_i$ 的两倍，从而对 $i > 0$ 有 $k_i = 2^{i-1}$ 次交叉。
• 移除每对终端正对面的区域，以确保路径必须通过网格且不能重复使用边，从而保证唯一解。
• 通过归纳法证明解的唯一性：每条路径 $P_i$ 必须穿过网格，并迫使后续路径加倍交叉以避免阻塞。
• 利用网格子式性质及已知的树宽结果：$n\times n$ 网格的树宽为 $n$，因此 $(2^k+1)\times(2^k+1)$ 网格的树宽为 $2^k+1$。
• 利用唯一解构成关键连接链路的事实，并应用罗伯特森与塞缪尔森的定理，推导出 $f(k)$ 和 $g(k)$ 的下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 为保证在具有 $k+1$ 对终端的平面图中存在无关顶点，所需的最小网格尺寸是多少？
• RQ2 作为 $k$ 的函数，包含关键连接链路的平面图的树宽至少为多大？
• RQ3 在平面图中，$(2^k+1)\times(2^k+1)$ 网格是否可能不包含不相交路径问题中的无关顶点？
• RQ4 罗伯特森与塞缪尔森的树宽与路径宽定理中，函数 $f(k)$ 和 $g(k)$ 的最紧下界是什么？
• RQ5 通过无关顶点技术，不相交路径问题的固定参数算法的参数依赖关系是否存在单指数下界？

主要发现

• 存在一个包含 $k+1$ 对终端的平面图，使得不相交路径问题有唯一解，且无任何顶点是无关的。
• 所构造的图包含一个 $(2^k+1)\times(2^k+1)$ 网格作为子式，且解路径恰好在网格上交叉 $2^k - 1$ 次。
• 该图的树宽和路径宽至少为 $2^{k-1} + 1$，从而为罗伯特森与塞缪尔森定理中的函数 $f(k)$ 和 $g(k)$ 建立了下界。
• $(2^k+1)\times(2^k+1)$ 网格不足以保证存在无关顶点，意味着必须使用更大的网格才能使无关顶点技术适用。
• 树宽的下界是紧的，因为其与固定参数算法中观察到的参数依赖的指数增长一致。
• 该结果表明，除非绕过或改进无关顶点技术，否则不相交路径算法的参数依赖关系无法优于单指数。