[论文解读] A lower bound on the number of inequivalent APN functions

Christian Kaspers, Yue Zhou|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2020

Coding theory and cryptography参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文建立了在有限域 $\mathbb{F}_{2^{2m}}$ 上、当偶数 $m \geq 4$ 时，几乎完美非线性（APN）函数的 CCZ-不等价函数数量的下界。证明了 Pott-Zhou APN 函数——由参数 $k$、$s$ 和 $\alpha$ 参数化——当 $k$ 和 $s$ 不同时彼此 CCZ-不等价，从而得出不等价函数数量的下界为 $\left(\left\lfloor \frac{m}{4} \right\rfloor + 1\right) \cdot \frac{\phi(m)}{2}$。此外，还完全刻画了这些函数的自同构群。

ABSTRACT

In this paper, we establish a lower bound on the total number of inequivalent APN functions on the finite field with $2^{2m}$ elements, where $m$ is even. We obtain this result by proving that the APN functions introduced by Pott and the second author, that depend on three parameters $k$, $s$ and $α$, are pairwise inequivalent for distinct choices of the parameters $k$ and $s$. Moreover, we determine the automorphism group of these APN functions.

研究动机与目标

• 确定在 $\mathbb{F}_{2^{2m}}$ 上、当偶数 $m \geq 4$ 时，CCZ-不等价 APN 函数数量的下界。
• 证明具有不同参数 $k$ 和 $s$ 的 Pott-Zhou APN 函数彼此 CCZ-不等价。
• 在 CCZ-等价和 EA-等价意义下，刻画 Pott-Zhou APN 函数的自同构群。
• 解决关于 $\mathbb{F}_{2^n}$ 上不等价 APN 函数总数的开放问题，特别是当 $n$ 被 4 整除时。
• 为 $\mathbb{F}_2$ 上偶数维向量空间中不等价 APN 函数的增长提供基准。

提出的方法

• 使用 Pott-Zhou APN 函数的二元表示：$f_{k,s,\alpha}(x,y) = \left( x^{2^k+1} + \alpha y^{(2^k+1)2^s}, xy \right)$。
• 应用 CCZ-等价理论，分析两个此类函数何时等价。
• 采用涉及线性化多项式和有限域性质的代数技术，推导出等价性不成立的条件。
• 通过在 $\mathbb{F}_{2^m}$ 上求解函数方程来分析自同构群，特别关注方程 $a^{2^k+1} = c$ 和 $\alpha^{2^u-1} = 1$ 的解的结构。
• 在 Magma 中对小规模情况（$m = 2, 4$）进行计算验证，以确认理论结果。
• 依赖数论工具，如欧拉函数 $\phi(m)$，以计算有效参数选择的数量。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有不同参数 $k$ 和 $s$ 的 Pott-Zhou APN 函数是否总是 CCZ-不等价？
• RQ2 对于偶数 $m$，Pott-Zhou APN 函数的自同构群的精确大小是多少？
• RQ3 对于偶数 $m$，能否对 $\mathbb{F}_{2^{2m}}$ 上 CCZ-不等价 APN 函数的数量给出下界？
• RQ4 与已知的其他二次 APN 函数族相比，Pott-Zhou 构造的结构在等价性方面有何特点？
• RQ5 不等价 APN 函数数量的下界是否可推广至不被 4 整除的维度？

主要发现

• 在 $\mathbb{F}_{2^{2m}}$ 上，CCZ-不等价 Pott-Zhou APN 函数的数量至少为 $\left(\left\lfloor \frac{m}{4} \right\rfloor + 1\right) \cdot \frac{\phi(m)}{2}$，其中 $m \geq 4$ 为偶数。
• 两个 Pott-Zhou APN 函数 $f_{k,s,\alpha}$ 和 $f_{\ell,t,\beta}$ 当且仅当 $k = \ell$ 且 $s = t$ 时 CCZ-等价，从而证明了当 $k,s$ 不同时彼此不等价。
• 线性自同构群 $\operatorname{Aut}_L(f_{k,s})$ 的阶为 $3m(2^m - 1)$，当 $s \in \{0, m/2\}$ 时；否则为 $\frac{3}{2}m(2^m - 1)$。
• 完整自同构群 $\operatorname{Aut}(f_{k,s})$ 的阶为 $3m \cdot 2^m (2^m - 1)$，当 $s \in \{0, m/2\}$ 时；否则为 $3m \cdot 2^{m-1} (2^m - 1)$。
• 当 $m = 2$ 时，唯一的 Pott-Zhou APN 函数线性等价于 Gold 函数 $x \mapsto x^3$，且 $|\operatorname{Aut}_L(f_{1,0})| = 360$，$|\operatorname{Aut}(f_{1,0})| = 5760$。
• 当 $m > 2^{10}$ 时，下界 $\frac{m\sqrt{m}}{2}$ 成立；当 $m$ 为 2 的幂时，上界 $\frac{m(m+4)}{16}$ 是精确的。