[论文解读] A lower bound on the uncertainty of probability measurements in closed systems

Markus P. Mueller|arXiv (Cornell University)|Dec 26, 2007

Quantum Mechanics and Applications被引用 1

一句话总结

本文確立了封閉系統中概率測量不確定性的基本下限，表明可逆時間演化與由貝克星斯坦界限所暗示的局部有界熵，會導致概率的本質離散化或模糊化。此不確定性與系統有效半徑和能量的平方根成反比，適用於經典、量子及廣義概率理論中的普遍情況。

ABSTRACT

In a recent paper, Buniy et al. have argued that a possible discretization of spacetime leads to an unavoidable discretization of the state space of quantum mechanics. In this paper, we show that this conclusion is not limited to quantum theory: in any classical, quantum, or more general probabilistic theory, states (i.e. probabilities or corresponding amplitudes) become discrete or fuzzy for observers, as long as time evolution is reversible and entropy is locally bounded. Specifically, we show that the Bekenstein bound suggests that probabilities in small closed regions of space carry an uncertainty inversely proportional to the the square root of the system's effective radius and energy.

研究动机与目标

• 探討此前在量子力學中所論證的狀態空間離散化，是否在相同物理約束下可延伸至經典與廣義概率理論。
• 檢驗可逆時間演化與局部有界熵在引發概率測量不確定性中的作用。
• 利用貝克星斯坦界限作為物理約束，推導測量不確定性的定量下限。
• 證明此不確定性是具有有限能量與空間範圍之任何系統的本質屬性，與其基礎理論無關。

提出的方法

• 利用貝克星斯坦界限作為小封閉區域中熵的約束，推導概率測量不確定性的下限。
• 應用可逆動力學與局部熵界限原則，證明在有限系統中概率無法被精確確定。
• 運用資訊理論推理，將系統的有效半徑與能量與概率賦值可達最小精度關聯起來。
• 將結果推廣至量子力學以外的任何概率理論，包括經典與後量子框架。
• 分析有限空間範圍與有限能量對概率狀態解析度的影響。
• 證明不確定性與系統有效半徑和能量的平方根成反比。

实验结果

研究问题

• RQ1 在相同物理約束下，量子力學中狀態空間的離散化是否可延伸至經典與廣義概率理論？
• RQ2 在具有有限能量與空間範圍的封閉系統中，測量概率的最小不確定性為何？
• RQ3 時間演化的可逆性與局部熵界限如何共同約束概率賦值的精確度？
• RQ4 貝克星斯坦界限能否用於推導所有概率理論中概率測量不確定性的普遍下限？
• RQ5 此不確定性與系統有效半徑和能量的函數關係為何？

主要发现

• 在任何具有可逆時間演化與局部有界熵的封閉系統中，都會出現概率測量不確定性的普遍下限。
• 此不確定性與系統有效半徑和能量的平方根成反比，由貝克星斯坦界限所決定。
• 此結果適用於經典、量子與廣義概率理論，顯示概率精確度存在基本限制。
• 概率的離散化或模糊化並非僅屬於量子力學，而是源自一般熱力學與動力學約束。
• 此界限意味著觀察者無法為有限封閉系統中的事件賦予完全精確的概率。
• 此不確定性是時空與資訊內容物理結構的本質屬性，而非僅僅是量子力學的特徵。