[论文解读] A Lyapunov Approach to Robust Regulation of Distributed Port-Hamiltonian Systems

Lassi Paunonen, Yann Le Gorrec+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2019

Control and Stability of Dynamical Systems参考文献 21被引用 13

一句话总结

本文提出了一种基于李雅普诺夫的鲁棒控制设计方法，用于具有边界控制的分布参数端口哈密顿系统（PHS），在不假设底层偏微分方程（PDE）适定性的前提下，实现了渐近输出跟踪与扰动抑制。该方法采用基于内模原理的有限维动态控制器，通过一种新颖的李雅普诺夫论证证明其稳定性，并在原子力显微镜中的压电管模型上进行了验证，即使存在未知扰动，仍能实现对参考信号的鲁棒收敛。

ABSTRACT

This paper studies robust output tracking and disturbance rejection for boundary controlled infinite-dimensional port--Hamiltonian systems including second order models such as the Euler--Bernoulli beam. The control design is achieved using the internal model principle and the stability analysis using a Lyapunov approach. Contrary to existing works on the same topic no assumption is made on the external well-posedness of the considered class of PDEs. The results are applied to robust tracking of a piezo actuated tube used in atomic force imaging.

研究动机与目标

• 解决具有边界控制与观测的无限维端口哈密顿系统中的鲁棒输出调节问题。
• 消除先前关于PHS控制研究中对适定性假设的限制性要求。
• 开发一种控制器设计与稳定性分析框架，可直接应用于抽象边界控制系统，无需重新表述。
• 实现对具有已知频率但未知幅值的参考信号的鲁棒跟踪，以及对扰动的抑制。
• 在实际应用中进行验证：原子力显微镜中的压电管执行器。

提出的方法

• 采用一种受内模原理启发的有限维动态误差反馈控制器，具有特定结构。
• 提出一种针对PHS与控制器闭环系统的新型李雅普诺夫型稳定性论证，避免依赖于适定性假设。
• 通过斜对称矩阵 Jc、输入矩阵 Bc 和半正定矩阵 Dc 设计控制器，引入增益 δc。
• 将控制器应用于一类一维PDE，包括具有空间变参数的欧拉-伯努利梁与铁莫申梁。
• 在抽象边界控制系统的框架内直接分析稳定性，无需将边界输入转换为分布输入。
• 通过结构保持的混合有限元空间离散化方法，对铁莫申梁模型进行数值验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不假设PDE适定性的前提下，实现对具有边界控制的分布参数端口哈密顿系统的鲁棒输出调节？
• RQ2 如何为边界控制的PHS与动态控制器构成的闭环系统构建基于李雅普诺夫的稳定性分析？
• RQ3 何种控制器结构可确保对具有已知频率但未知幅值的正弦参考信号的渐近跟踪，以及对正弦扰动的抑制？
• RQ4 内模原理能否在无限维系统中有效应用，而无需将边界输入重新表述为分布输入？
• RQ5 所提出的方法在实际应用（如原子力显微镜中的压电管执行器）中表现如何？

主要发现

• 所提出的控制器即使在外部扰动具有相同频率结构的情况下，也能实现对具有已知频率但未知幅值的参考信号的渐近输出跟踪。
• 通过一种新颖的李雅普诺夫论证证明了闭环系统的稳定性，该论证不依赖于原始PHS的适定性。
• 控制器设计具有鲁棒性：只要闭环系统保持稳定，即使在物理参数存在不确定性时，输出跟踪性能依然维持。
• 仿真结果表明，对于零初始条件，跟踪误差收敛至零，且在压电管模型中观察到稳态收敛。
• 该方法适用于具有空间变参数的二阶系统，如欧拉-伯努利梁与铁莫申梁。
• 通过50个有限元单元的离散化方法对控制器结构进行了数值验证，结果确认了其鲁棒性与收敛性能。