[论文解读] A Lyapunov function construction for the Douglas-Rachford operator in a non-convex setting

Ohad Giladi, Björn S. Rüffer|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2017

Optimization and Variational Analysis参考文献 4被引用 1

一句话总结

本文在涉及两条相交直线与第三条直线的非凸设定下，通过结合依赖于问题参数的显式公式所得到的局部李雅普诺夫函数，为 Douglas-Rachford 算子构建了一个全局李雅普诺夫函数。该方法在非凸情况下建立了全局收敛性和鲁棒稳定性，为分析更复杂的多边形几何结构提供了一个原型。

ABSTRACT

While global convergence of the Douglas-Rachford iteration is often observed in applications, proving it is still limited to convex and a handful of other special cases. Lyapunov functions for difference inclusions provide not only global or local convergence certificates, but also imply robust stability, which means that the convergence is still guaranteed in the presence of persistent disturbances. In this work, a global Lyapunov function is constructed by combining known local Lyapunov functions for simpler, local sub-problems via an explicit formula that depends on the problem parameters. Specifically, we consider the scenario where one set consists of the union of two lines and the other set is a line, so that the two sets intersect in two distinct points. Locally, near each intersection point, the problem reduces to the intersection of just two lines, but globally the geometry is non-convex and the Douglas-Rachford operator multi-valued. Our approach is intended to be prototypical for addressing the convergence analysis of the Douglas-Rachford iteration in more complex geometries that can be approximated by polygonal sets through the combination of local, simple Lyapunov functions.

研究动机与目标

• 为解决 Douglas-Rachford 迭代在非凸设定下缺乏全局收敛性证明的问题。
• 为在几何结构复杂、非凸的问题中，系统性地从局部李雅普诺夫函数构造全局李雅普诺夫函数提供方法。
• 在涉及多条直线相交的非凸情形下，建立 Douglas-Rachford 算子的鲁棒稳定性。
• 为更一般的多边形集合配置提供一个原型性框架。

提出的方法

• 该方法通过一个显式公式，将各交点附近简单子问题的已知局部李雅普诺夫函数组合成一个全局李雅普诺夫函数。
• 该公式显式依赖于问题参数，确保全局函数继承局部分量的稳定性特性。
• 分析聚焦于一个特定的非凸情形：一个集合为两条直线的并集，另一个集合为一条直线，两者在两个不同点相交。
• 由于非凸几何结构，Douglas-Rachford 算子在此全局设定下为多值，需仔细处理算子行为。
• 该构造利用每个交点附近的局部结构，此时问题退化为两条直线的相交情形，已有充分理解。
• 所得全局李雅普诺夫函数可验证在持续扰动下，Douglas-Rachford 迭代的全局收敛性和鲁棒稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在具有多个交点的非凸设定下，为 Douglas-Rachford 算子构造全局李雅普诺夫函数？
• RQ2 如何将简单子问题的局部李雅普诺夫函数组合为有效的全局李雅普诺夫函数？
• RQ3 所得全局李雅普诺夫函数是否能确保在持续扰动下的鲁棒稳定性？
• RQ4 该方法能否推广至由多边形集合近似的更复杂非凸几何结构？

主要发现

• 成功为具有两个交点的非凸设定下的 Douglas-Rachford 算子构造了全局李雅普诺夫函数。
• 通过显式依赖参数的公式组合局部李雅普诺夫函数，确保在整个定义域内有效。
• 全局李雅普诺夫函数验证了 Douglas-Rachford 迭代的全局收敛性和鲁棒稳定性。
• 该方法为由多边形集合构成的更复杂非凸几何结构的收敛性分析提供了原型。