[论文解读] A MacCormack Method for Complete Shallow Water Equations with Source Terms

Eric Ngondiep, Alqahtani T. Rubayyi+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2019

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 25被引用 5

一句话总结

本文提出了一种针对含源项的一维完整浅水方程的二阶精度MacCormack有限差分格式，通过分步法处理刚性摩擦坡度，并采用迎风法控制振荡。该方法在适当的时间步长与网格尺寸约束下实现了二阶收敛性，且表现出稳定性和准确性，经由解析解与数值解对比验证。

ABSTRACT

In the last decades, more or less complex physically-based hydrological models, have been developed to solve the shallow water equations or their approximations using various numerical methods. The MacCormack method was developed for simulating overland flow with spatially variable infiltration and microtopography using the hydrodynamic flow equations. The basic MacCormack scheme is enhanced when it uses the method of fractional steps to treat the friction slope or a stiff source term and to upwind the convection term in order to control the numerical oscillations and stability. In this paper we describe, the MacCormack scheme for 1D complete shallow water equations with source terms, analyze the stability condition of the method and we provide the convergence rate of the algorithm. This work improves some well known results deeply studied in the literature which concern the Saint-Venant problem and it represents an extension of the time dependent shallow water equations without source terms. The numerical evidences consider the rate of convergence of the method and compares the numerical solution respect to the analytical one.

研究动机与目标

• 开发一种针对含摩擦与底坡效应源项的一维完整浅水方程的鲁棒数值格式。
• 通过分步法与迎风法改进基础MacCormack格式，以提升稳定性并减少数值振荡。
• 利用傅里叶分析分析改进格式的稳定性条件，并通过数值方法验证其收敛速率。
• 针对随时间变化的降雨超额情况下的地表流，将该方法与解析解进行对比验证。
• 确保在小水深与陡峭梯度条件下，格式仍保持平衡性与正性保持性。

提出的方法

• 该格式采用基于时间二阶泰勒级数与空间四阶精度的两步预测-校正方法。
• 采用分步法将源项（特别是摩擦坡度）解耦，以处理其刚性。
• 对对流项应用迎风法，以抑制数值振荡并提高稳定性。
• 将系统重新表述为守恒律形式：∂W/∂t + ∂F/∂x = S，其中 W = (A, Q)，F = (Q, gA²/(2T) + Q²/A)，S = (r, gA(S₀ - S_f))。
• 通过傅里叶分析进行稳定性分析，得出关于Δt与Δx的类似CFL的限制条件。
• 通过在细化网格上计算横截面A与流量Q的L²误差，对收敛性进行数值评估。

实验结果

研究问题

• RQ1 改进后的MacCormack格式在含源项的一维浅水方程中是否保持二阶收敛性？
• RQ2 引入分步法与迎风法如何影响MacCormack格式的稳定性与准确性？
• RQ3 网格尺寸与时间步长对数值解的稳定性与收敛性有何影响？
• RQ4 该格式能否在小水深区域保持正性并避免虚假振荡？
• RQ5 对于随时间变化的降雨超额情形，数值解与解析解的匹配程度如何？

主要发现

• MacCormack格式在横截面A与流量Q上均实现了二阶收敛性，表1中的L²误差范数已证实此结论。
• A的收敛率约为2.0，连续网格细化下的值分别为2.0000、2.0645与1.9787。
• 在测试案例中，Q的数值解与解析解完全一致，L²误差为零。
• 稳定性为条件性：仅当Δt与Δx满足推导出的稳定性限制（101）时，格式才保持稳定。
• 数值解不会随时间增长，并收敛至解析解，表明在合理参数选择下具有鲁棒性。
• 当应用迎风法与分步法时，该方法能有效控制数值振荡，并在小水深区域保持正性。