[论文解读] A majority of elliptic curves over $\mathbb Q$ satisfy the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture

Manjul Bhargava, Christopher Skinner+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 17被引用 22

一句话总结

本文通过分析 p- Selmer 群的平均值和根数分布，证明了在按高度排序时，至少 66.48% 的 ℚ 上的椭圆曲线满足 Birch 和 Swinnerton-Dyer 秩猜想。利用 p-进条件和解析秩为 0 或 1 的曲线的密度估计，作者确立了大多数曲线具有有限的 Tate–Shafarevich 群，并且其代数秩与解析秩相匹配。

ABSTRACT

We prove that a majority (in fact, $>66\%$) of all elliptic curves over $\mathbb Q$, when ordered by height, satisfy the Birch and Swinnerton-Dyer rank conjecture.

研究动机与目标

• 建立 ℚ 上满足 Birch 和 Swinnerton-Dyer 秩猜想的椭圆曲线比例的正下界。
• 证明大多数椭圆曲线具有有限的 Tate–Shafarevich 群。
• 推导出代数秩与解析秩均为 0 或均为 1 的曲线比例的定量下界。
• 改善对按高度排序的 ℚ 上椭圆曲线平均秩的理解。
• 为如下猜想提供证据：对所有素数 p，ℚ 上 p-Selmer 群的平均大小为 p+1。

提出的方法

• 利用 Dokchitser–Dokchitser、Gross–Zagier 和 Kolyvagin 的工作所得出的 p-进条件，确定椭圆曲线何时具有代数秩与解析秩为 0 或 1。
• 应用在由同余条件定义的大族椭圆曲线中，对 p=3 和 p=5 的平均 p-Selmer 群大小的结果。
• 估计在大族中满足特定 p-进和同余条件的曲线的自然密度，表明密度趋近于 80%。
• 将密度估计与子族中根数（±1）的等分布性（密度至少为 55%）相结合，以控制 Selmer 奇偶性。
• 在多个族上运用组合优化方法，以边界化具有秩 0 或 1 的曲线比例，利用关于 Selmer 群奇偶性的定理 25。
• 利用根数 ±1 与 p-Selmer 群奇偶性之间的关系（由 Dokchitser–Dokchitser 定理建立），将解析秩与代数秩联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 按高度排序时，ℚ 上有多少比例的椭圆曲线满足 Birch 和 Swinnerton-Dyer 秩猜想？
• RQ2 代数秩与解析秩均为 0 的椭圆曲线比例的下界是多少？
• RQ3 代数秩与解析秩均为 1 的椭圆曲线比例的下界是多少？
• RQ4 能否证明 ℚ 上 p-Selmer 群的平均大小对所有素数 p 均为 p+1？其后果是什么？
• RQ5 在大族椭圆曲线中，根数的分布如何影响秩为 0 或 1 的曲线的密度？

主要发现

• 在按高度排序时，至少 66.48% 的 ℚ 上的椭圆曲线满足 Birch 和 Swinnerton-Dyer 秩猜想。
• 至少 16.50% 的椭圆曲线具有代数与解析秩均为 0。
• 至少 20.68% 的椭圆曲线具有代数与解析秩均为 1。
• 在按高度排序时，ℚ 上椭圆曲线的平均（代数或解析）秩至少为 0.2068。
• 具有有限 Tate–Shafarevich 群的曲线比例至少为 66.48%。
• 若 ℚ 上 p-Selmer 群的平均大小对所有素数 p 均为 p+1，则 Birch 和 Swinnerton-Dyer 猜想对 ℚ 上 100% 的椭圆曲线成立。