[论文解读] A Marked Cox Model for IBNR Claims: Model and Theory

Andrei L. Badescu, X. Sheldon Lin+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2015

Probability and Risk Models参考文献 20被引用 3

一句话总结

本文提出了一种带标记的Cox过程模型，用于建模财产与意外伤害保险中的索赔到达过程及报案延迟，通过隐马尔可夫链引入时间依赖性。主要贡献在于，已证明报告索赔过程与IBNR索赔过程均为带标记的Cox过程，且其自相关函数与边缘分布具有闭式表达式，从而实现可处理的推断与预测。

ABSTRACT

Incurred but not reported (IBNR) loss reserving is an important issue for Property & Casualty (P&C) insurers. The modeling of the claim arrival process, especially its temporal dependence, has not been closely examined in many of the current loss reserving models. In this paper, we propose modeling the claim arrival process together with its reporting delays as a marked Cox process. Our model is versatile in modeling temporal dependence, allowing also for natural interpretations. This paper focuses mainly on the theoretical aspects of the proposed model. We show that the associated reported claim process and IBNR claim process are both marked Cox processes with easily convertible intensity functions and marking distributions. The proposed model can also account for fluctuations in the exposure. By an order statistics property, we show that the corresponding discretely observed process preserves all the information about the claim arrival epochs. Finally, we derive closed-form expressions for both the autocorrelation function (ACF) and the distributions of the numbers of reported claims and IBNR claims. Model estimation and its applications are considered in a subsequent paper, Badescu et al.(2015b)

研究动机与目标

• 为现有IBNR损失准备金框架中缺乏时间依赖性建模的问题，特别是微观层面模型中的不足，提供解决方案。
• 开发一种灵活且数学上可处理的模型，以捕捉由于组合层面环境因素导致的索赔到达依赖性。
• 正式刻画在所提模型下，报告索赔过程与IBNR索赔过程作为带标记Cox过程的性质。
• 通过索赔到达过程的顺序统计性质，保留离散观测数据中的完整信息。
• 推导报告索赔与IBNR索赔数量的自相关函数及边缘分布的闭式表达式。

提出的方法

• 将索赔到达过程与报案延迟建模为由隐马尔可夫链驱动的带标记Cox过程，以引入时间依赖性。
• 使用具有状态相关强度函数与标记分布的带标记Cox过程，以表示索赔到达与报案延迟。
• 应用顺序统计性质，证明离散观测的索赔到达过程保留了原始到达时间的所有信息。
• 通过底层带标记Cox过程的变换，推导报告索赔过程与IBNR索赔过程的强度函数与标记分布。
• 利用Pascal混合表示法，表达模型下报告索赔与IBNR索赔数量的边缘分布。
• 证明报告与IBNR过程的联合分布可在离散化下保持不变，从而支持数据拟合与推断。

实验结果

研究问题

• RQ1 带隐马尔可夫链的带标记Cox过程是否能充分建模索赔到达的时间依赖性，同时保持可解释性？
• RQ2 在所提的带标记Cox模型下，报告索赔与IBNR索赔过程在随机性质方面如何表现？
• RQ3 该模型下离散观测索赔过程的自相关函数（ACF）具有何种结构？
• RQ4 能否为报告索赔与IBNR索赔数量的边缘分布推导出闭式表达式？
• RQ5 该模型如何在保持数学可处理性的同时，考虑保额波动的影响？

主要发现

• 报告索赔过程与IBNR索赔过程均为带标记Cox过程，其强度函数与标记分布可轻松转换。
• 由于索赔到达过程的顺序统计性质，离散观测的索赔过程完整保留了原始索赔到达时间的所有信息。
• 推导出离散观测报告索赔与IBNR索赔过程自相关函数（ACF）的闭式表达式。
• 截至时间τ的报告索赔数量的边缘分布为参数为θ^r的单变量Pascal混合分布，IBNR索赔数量的边缘分布则为参数为θ^IBNR的类似Pascal混合分布。
• 该模型可处理保额波动，并通过隐马尔可夫链结构自然解释时间依赖性。
• 理论结果表明，该模型可提供比过度分散泊松模型更准确的最佳估计与更现实的预测分布，后续实证研究（Badescu et al., 2015b）已验证此结论。