[论文解读] A Markov Model of a Limit Order Book: Thresholds, Recurrence, and Trading Strategies

F. P. Kelly, Elena Yudovina|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2015

Economic theories and models参考文献 22被引用 2

一句话总结

本文提出了一种可处理的极限订单簿的马尔可夫模型，其由泊松到达的限价委托单驱动，且价格独立同分布，建立了最高买价和最低卖价在均衡状态下受阈值价格（κb 和 κa）限制的存在性。该文推导出这些价格的显式极限分布 πb 和 πa，表明它们满足平衡方程（1a）–（1b），并利用流极限证明了正递归性，从而支持对高频交易策略及不同市场机制下纳什均衡的分析。

ABSTRACT

We analyze a tractable model of a limit order book on short time scales, where the dynamics are driven by stochastic fluctuations between supply and demand. We establish the existence of a limiting distribution for the highest bid, and for the lowest ask, where the limiting distributions are confined between two thresholds. We make extensive use of fluid limits to establish recurrence properties of the model. We use the model to analyze various high-frequency trading strategies, and comment on the Nash equilibria that emerge between high-frequency traders when a market in continuous time is replaced by frequent batch auctions.

研究动机与目标

• 开发一种适用于短时间尺度的可处理且可解析求解的极限订单簿模型。
• 分析在随机供需失衡下，极限订单簿中最高买价和最低卖价的长期行为。
• 建立限制性价格阈值（κb, κa）的存在性，以约束买卖价的极限分布。
• 利用流极限技术证明分箱版本模型的正递归性，从而实现精确的分布结果。
• 在连续市场与批量拍卖市场下，分析高频交易策略——做市商策略、狙击策略及混合策略，及其纳什均衡。

提出的方法

• 将极限订单簿建模为连续时间马尔可夫过程，买卖单以单位速率独立泊松到达。
• 假设买价的分布 fb(x) 和卖价的分布 fa(x) 独立同分布，匹配规则基于价格优先。
• 推导出平衡方程（1a）和（1b），使在某一价格处匹配的订单流等于在该价格新进入的订单流。
• 使用流极限近似方法，证明分箱模型的正递归性，这对证明极限分布的存在性至关重要。
• 通过在不同市场结构和交易者行为下进行显式利润率计算，分析高频交易策略。
• 研究竞争环境下的纳什均衡：做市商与狙击者之间，以及狙击者之间基于价格而非速度的竞争。

实验结果

研究问题

• RQ1 在独立同分布价格到达和泊松交易的条件下，极限订单簿中最高买价和最低卖价的极限分布是什么？
• RQ2 是否存在自然阈值 κb 和 κa，使得低于 κb 的价格从不被匹配，而高于 κb 的价格在订单簿中反复出现？
• RQ3 流极限技术如何在分箱模型版本中建立正递归性，从而实现精确的分布结果？
• RQ4 当连续市场被频繁的批量拍卖取代时，高频交易者之间出现的纳什均衡是什么？
• RQ5 狙击者或做市商之间的竞争如何影响买卖价差和总利润率？

主要发现

• 最低卖价的极限分布 πa(x) 和最高买价的极限分布 πb(x) 支持在区间 (κb, κa) 上，其中 κb = 1 − κ，κa = κ，而 κ ≈ 0.218 由方程 we^w = e^{-1} 的解得出。
• 在对称情形下，fa(x) = fb(x) = 1 在 (0,1) 上成立，最高买价的极限密度为 πb(x) = (1 − κ)(1/x + log((1−x)/x))，其中 x ∈ (κ, 1−κ)，且 κ ≈ 0.218。
• 该模型预测，当市价单比例超过临界值 w ≈ 0.278 时，极限分布扩展至覆盖整个区间 (0,1)，意味着会出现无最高买价或最低卖价的反复时期。
• 在做市商与狙击者之间的双寡头竞争中，纳什均衡下做市商的利润率为 0.073，狙击者的利润率为 0.020，最优价格分别为 P ≈ 0.340 和 q = √(P(1−P))。
• 当多个狙击者基于价格而非速度竞争时，均衡导致对所有高于 1/2 的买价和低于 1/2 的卖价进行狙击，使总利润率从 0.060 降至 0.042。
• 平均买卖价差从无交易者时的 κ ≈ 0.218 增加至狙击者竞争下的 1/e ≈ 0.368，以及单个狙击者情况下的 0.590，说明交易者行为如何影响市场深度与价差。