[论文解读] A mass-lumped mixed finite element method for acoustic wave propagation

Herbert Egger, Bogdan Radu|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2018

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 18被引用 5

一句话总结

本论文提出了一种基于BDM₁–P₀混合有限元的质心质量矩阵法，用于在非结构化网格上模拟声波传播。尽管由于质量矩阵法导致精度降为一阶，但该方法表现出超收敛性，可通过基于投影的后处理技术恢复速度和压力的二阶精度分段线性逼近，经完整收敛性分析与数值实验验证，收敛率达到最优。

ABSTRACT

We consider the numerical approximation of acoustic wave propagation in the time domain by a mixed finite element method based on the BDM1-P0 spaces. A mass-lumping strategy for the BDM1 element, originally proposed by Wheeler and Yotov in the context of subsurface flow problems, is utilized to enable an efficient integration in time. By this mass-lumping strategy, the accuracy of the mixed method is formally reduced to first order. We will show, however, that the numerical approximation still carries global second order information, which is expressed as super-convergence of the numerical approximation to certain projections of the true solution. Based on this fact, we propose post-processing strategies for both variables, the pressure and the velocity, which yield piecewise linear approximations of second order accuracy. A complete convergence analysis is provided for the semi-discrete and corresponding fully-discrete approximations, which result from time discretization by the leapfrog method. In addition, some numerical tests are presented to illustrate the efficiency of the proposed approach.

研究动机与目标

• 开发一种高效、显式的声波传播时间积分格式，适用于非结构化网格上的混合有限元方法。
• 解决BDM₁–P₀混合有限元在质量矩阵法下导致的一致性降为一阶所引起的精度损失问题。
• 通过基于超收敛性的后处理策略，恢复速度与压力的二阶精度。
• 针对使用蛙跳时间离散化的半离散与全离散格式，提供完整的收敛性分析。
• 在曲面边界与非凸几何区域上验证方法的鲁棒性，拓展其在标准假设不成立时的适用范围。

提出的方法

• 采用BDM₁–P₀混合有限元对对速度与压力进行离散，确保在非结构化三角形网格上满足H(div)与L²相容性。
• 基于Wheeler与Yotov的方法实施质量矩阵法，生成块对角质量矩阵，支持显式时间积分。
• 采用非精确椭圆投影（源自地下水流理论）定义真实解的目标投影，以支持误差分析。
• 提出一种后处理程序，从原始的一阶混合有限元解中重构速度与压力的分段线性逼近。
• 将后处理解与蛙跳格式结合用于时间离散，确保计算稳定性与显式求解。
• 在嵌套网格间使用延拓算子，以在不同网格细化级别间比较误差，用于收敛性研究。

实验结果

研究问题

• RQ1 在BDM₁–P₀混合有限元用于声波方程时，质量矩阵法虽导致一致性降为一阶，是否仍能保留二阶收敛信息？
• RQ2 在非结构化网格上，质量矩阵法存在时，后处理技术能否恢复速度与压力的二阶精度？
• RQ3 在曲面或非凸区域上，当标准假设不成立时，所提方法是否仍能保持最优收敛率？
• RQ4 当结合质量矩阵法、后处理与蛙跳时间积分时，全离散格式的收敛行为如何？
• RQ5 当网格几何扭曲或边界未精确拟合曲面时，后处理解是否仍能实现二阶精度？

主要发现

• 由于质量矩阵法的影响，该方法在标准意义下仅具有一阶精度，但数值解表现出对真实解投影的超收敛性。
• 速度与压力逼近解以二阶精度收敛至投影解，即 ‖uₕ* − uₕ‖ + ‖pₕ* − pₕ‖ ≤ Ch²。
• 后处理恢复了分段线性逼近（ũₕ, ṕₕ），其精度达到二阶：‖u(t) − ũₕ(t)‖ + ‖p(t) − ṕₕ(t)‖ ≤ Ch²。
• 对于采用蛙跳时间积分的全离散格式，后处理解满足 ‖u(tⁿ) − ũₕⁿ‖ + ‖p(tⁿ) − ṕₕⁿ‖ ≤ C(h² + τ²)，证实了空间与时间方向的最优收敛性。
• 在曲面边界波散射问题的数值实验中，即使违反凸性假设且几何形状被近似，仍观测到二阶收敛（eoc ≈ 2.0）。
• 该方法在非结构化网格上保持鲁棒且高效，支持完全显式时间积分，同时通过后处理实现二阶精度。