[论文解读] A mathematical explanation via "intelligent" PID controllers of the strange ubiquity of PIDs

B. D’Andrea Novel, Michel Fliesś+3 more|arXiv (Cornell University)|May 4, 2010

Advanced Control Systems Optimization参考文献 2被引用 20

一句话总结

本文通过证明采样时间下的经典PID控制器行为近似于'智能'PID控制器的结构动力学，为经典PID控制器的广泛应用提供了数学解释——这类智能PID控制器基于无模型控制理论，能够实时估计系统动力学。关键发现是：经过恰当整定的经典PID控制器通过其增益隐式地考虑了未知系统结构，但智能PID控制器在鲁棒性、故障容错能力以及调参简便性方面表现更优，且无需系统辨识。

ABSTRACT

The ubiquity of PID controllers in the industry has remained mysterious until now. We provide here a mathematical explanation of this strange phenomenon by comparing their sampling with the the one of "intelligent" PID controllers, which were recently introduced. Some computer simulations nevertheless confirm the superiority of the new intelligent feedback design.

研究动机与目标

• 解决长期以来的疑问：为何经典PID控制器在缺乏非线性或复杂系统理论依据的情况下仍被工业界广泛使用。
• 在经典PID控制器与基于无模型控制理论新近发展的'智能'PID控制器之间建立数学联系。
• 证明经典PID控制器的有效性源于其在采样条件下对智能控制器结构自适应性的近似能力。
• 突出智能PID控制器在处理非线性、参数变化和故障方面相对于经典PID控制器的优势，后者在这些情况下会失效。
• 倡导控制工程教育与实践范式向智能PID控制器转变，因其具备更强的鲁棒性和更简单的调参方式。

提出的方法

• 采用系统的现象学模型 $ y^{(\nu)} = F + \alpha u $，其中 $ \nu = 1 $ 或 $ 2 $，并使用数值微分器实时估计 $ F $。
• 引入'智能'PID（i-PID）控制器，直接利用估计的 $ F $ 和 $ \alpha $ 计算控制输入：$ u = \frac{1}{\alpha}(-F + \ddot{y}^* + K_P e + K_I \int e + K_D \dot{e}) $。
• 对经典控制器和智能控制器进行粗略的时间采样，以比较其离散时间行为。
• 通过黎曼和近似推导出经典PID增益（$ k_p, k_i, k_d $）与智能控制器增益（$ K_P, K_I, K_D $）之间的显式代数对应关系。
• 将该方法应用于非线性系统 $ \dot{y} + y^3 = 2u $，在不同条件下比较经典PI与i-PI控制器的性能。
• 通过数值仿真验证在设定值变化、参数变化和执行器故障下的性能表现。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何经典PID控制器在缺乏非线性或复杂系统理论基础的情况下，仍被工业应用广泛使用？
• RQ2 经典PID控制器的增益如何与未知非线性系统的结构动力学相关联？
• RQ3 经典PID控制器的采样行为在多大程度上近似于智能PID控制器的行为？
• RQ4 智能PID控制器在鲁棒性、调参和故障容错方面相较于经典PID控制器有何优势？
• RQ5 经典PID控制器的成功能否被数学解释为智能控制原理的一种涌现近似？

主要发现

• 经典PI和PID控制器的采样行为近似于智能PID控制器的结构自适应性，解释了其经验上的成功。
• 经典PID增益与智能控制器增益之间存在数学关联，关系式为：$ k_p = K_D / (\alpha h) $，$ k_i = K_P / (\alpha h) $，$ k_{ii} = K_I / (\alpha h) $，以及 $ k_d = -1 / (\alpha h) $。
• 智能PID控制器无需系统辨识或复杂调参规则，而经典PID控制器则依赖复杂的启发式方法。
• 在大幅设定值变化或系统参数变化下，经典PI控制器性能显著下降，而i-PI控制器保持稳定性能。
• 在执行器故障（如每采样周期损失0.4%功率）情况下，i-PI控制器的故障容错能力显著优于经典PI控制器。
• 当 $ \alpha = 1 $，$ K_P = 6 $，$ K_I = 9 $ 时，i-PI控制器无需针对不同工况进行校准，而经典PI控制器在系统变化后需重新调参。