[论文解读] A mathematical theory of anyon condensation

Liang Kong|arXiv (Cornell University)|Jul 31, 2013

Quantum many-body systems被引用 4

一句话总结

本文使用自举方法，为二维拓扑物相中的任意子凝结建立了一个数学框架，表明凝聚相中的任意子（由模张量范畴 D 描述）源自原始物相（C）中一个连通的、可交换的、可分代数 A。关键结果是 D 与 C 中局部 A-模的范畴等价，且凝结过程自然产生具有 A-模激发的能隙畴壁。

ABSTRACT

Instead of constructing anyon condensation in various concrete models, we take a bootstrap approach by considering an abstract situation, in which an anyon condensation happens in a 2-d topological phase with anyonic excitations given by a modular tensor category C; and the anyons in the condensed phase are given by another modular tensor category D. By a bootstrap analysis, we derive a relations between anyons in D-phase and anyons in C-phase from natural physical requirements. It turns out that the vacuum (or the tensor unit) A in D-phase is necessary to be a connected commutative separable algebra in C, and the category D is equivalent to the category of local A-modules as modular tensor categories. This condensation also produces a gapped domain wall with wall excitations given by the category of A-modules in C. More general situation is also discussed in this paper. We will also show how to determine such algebra A from the initial and final data. Multi-condensations and 1-d condensations will also be briefly discussed. Examples will be given in the toric code model, Kitaev quantum double models, Levin-Wen types of lattice models and some chiral topological phases.

研究动机与目标

• 建立一个不依赖于特定模型的二维拓扑物相中任意子凝结的一般数学框架。
• 识别在模张量范畴中控制凝结的必要代数结构（连通的可交换可分代数）。
• 推导出凝聚相任意子范畴 D 与原始范畴 C 中局部 A-模范畴之间的等价性。
• 展示此类凝结如何自然产生具有 A-模激发的能隙畴壁。
• 提供一种系统方法，用于从初始和最终的拓扑数据确定凝结代数 A。

提出的方法

• 基于物理一致性条件的自举方法，推导任意子凝结的约束条件。
• 将凝聚相中的真空识别为原始模张量范畴 C 中的一个连通的可交换可分代数 A。
• 确立凝聚相任意子范畴 D 与 C 中局部 A-模范畴的等价性。
• 应用范畴对偶性和模范畴理论，刻画凝结过程的结构。
• 从 A-模范畴推导出能隙畴壁结构，其墙激发由相同的 A-模范畴描述。
• 将框架扩展至多凝结和一维凝结情形，并通过量子双统计模型、Kitaev 量子双模型和 Levin-Wen 模型中的例子加以说明。

实验结果

研究问题

• RQ1 在原始模张量范畴 C 中，必须对应何种代数结构才能构成有效的任意子凝结过程？
• RQ2 凝聚相的任意子范畴 D 与原始范畴 C 之间在数学上如何关联？
• RQ3 凝结过程中形成的能隙畴壁的范畴描述是什么？
• RQ4 如何从初始和最终的拓扑数据重构凝结代数 A？
• RQ5 在多凝结或一维凝结情形下，会出现哪些推广？

主要发现

• 凝聚相中的真空必然是原始模张量范畴 C 中的一个连通的可交换可分代数 A。
• 凝聚相任意子范畴 D 与 C 中局部 A-模范畴在模张量范畴意义上等价。
• 凝结过程自然产生一个能隙畴壁，其激发由 C 中 A-模范畴描述。
• 凝结代数 A 可通过从物理一致性导出的范畴约束，从初始和最终的拓扑数据中确定。
• 该框架可推广至多凝结和一维凝结情形，且具有一致的范畴描述。
• 在量子双统计模型、Kitaev 量子双模型、Levin-Wen 晶格模型以及手征性拓扑物相中的显式例子，验证了理论预测。