[论文解读] A Mathematical Theory of Co-Design

Andrea Censi|arXiv (Cornell University)|Dec 25, 2015

Manufacturing Process and Optimization参考文献 22被引用 20

一句话总结

本文提出了一种基于单调协同设计问题（MCDPs）的复杂系统协同设计数学理论，其中功能与资源被建模为完全偏序集，并通过Scott连续的可行性关系进行描述。该理论通过在反链上进行最小不动点迭代，提出了一套系统化求解方法，即使在非凸、不可微的设定下，也能实现对相互依赖子系统的严格、最优设计。

ABSTRACT

One of the challenges of modern engineering, and robotics in particular, is designing complex systems, composed of many subsystems, rigorously and with optimality guarantees. This paper introduces a theory of co-design that describes "design problems", defined as tuples of "functionality space", "implementation space", and "resources space", together with a feasibility relation that relates the three spaces. Design problems can be interconnected together to create "co-design problems", which describe possibly recursive co-design constraints among subsystems. A co-design problem induces a family of optimization problems of the type "find the minimal resources needed to implement a given functionality"; the solution is an antichain (Pareto front) of resources. A special class of co-design problems are Monotone Co-Design Problems (MCDPs), for which functionality and resources are complete partial orders and the feasibility relation is monotone and Scott continuous. The induced optimization problems are multi-objective, nonconvex, nondifferentiable, noncontinuous, and not even defined on continuous spaces; yet, there exists a complete solution. The antichain of minimal resources can be characterized as a least fixed point, and it can be computed using Kleene's algorithm. The computation needed to solve a co-design problem can be bounded by a function of a graph property that quantifies the interdependence of the subproblems. These results make us much more optimistic about the problem of designing complex systems in a rigorous way.

研究动机与目标

• 解决复杂、相互依赖系统的设计挑战，特别是在机器人领域中，子系统之间存在递归协同设计约束。
• 将协同设计问题形式化为功能、实现与资源空间的三元组，并辅以可行性关系。
• 建立一个原则性框架，用于求解任意互连的协同设计问题，并提供最优性保证。
• 确立最小资源解存在且可系统计算的条件。
• 将先前针对单循环协同设计的工作推广至任意图结构的互连关系，包括反馈回路。

提出的方法

• 将每个设计问题建模为功能空间、实现空间与资源空间之间的可行性关系。
• 定义单调协同设计问题（MCDPs），其中功能与资源为完全偏序集，可行性关系为单调且Scott连续。
• 将MCDP的解表示为反链（Pareto前沿）上最小不动点的系统方程。
• 应用Kleene的不动点迭代方法求解，从反链格的最小元素开始。
• 利用衡量子问题之间相互依赖程度的图属性，界定计算复杂度。
• 利用抽象解释中的技术，如混沌迭代与异步迭代，以期加速收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何形式化建模并求解复杂系统中相互依赖子系统之间的协同设计约束，同时保证最优性？
• RQ2 何种数学结构可确保多目标、非凸协同设计问题中最小资源解的存在性与可计算性？
• RQ3 能否为在任意互连结构（包括递归依赖）下闭合的MCDPs定义系统化的求解程序？
• RQ4 协同设计图中相互依赖的结构如何影响问题求解的计算复杂度？
• RQ5 现有抽象解释方法在多值、非唯一解的MCDPs求解中，可被多大程度上适配？

主要发现

• 单调协同设计问题（MCDPs）在任意互连结构下（包括反馈）保持闭合，确保该框架在复杂系统设计中具有鲁棒性。
• MCDP的解为最小资源分配的反链（Pareto前沿），其特征为在反链上Scott连续算子的最小不动点。
• 不动点迭代在有限步内收敛，其复杂度受衡量子系统相互依赖程度的图属性所限制。
• MCDPs推广了具有唯一解的连续单调偏序规划（CMPOPs），而MCDPs由于多值可行性关系可允许多个最小解。
• 该框架支持异构、多领域系统（如具有递归协同设计约束的机器人平台）的系统化、最优设计。
• 尽管优化问题为非凸、不可微且不定义于连续空间，但其仍具备完整且可构造的求解程序。