[论文解读] A Mathematical Theory of Truth with Applications

Seppo Heikkilä|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2013

Logic, Reasoning, and Knowledge被引用 1

一句话总结

本文提出了一种形式封闭语言的数学真理理论（MTT）——称为数学相容（MA）语言——这类语言包含自然数和数字。通过在策梅洛-弗兰克尔集合论与经典逻辑中扩展这些语言，引入一元真理谓词，MTT 构建了无无限回溯的自指真理谓词，满足莱特吉布（Leitgeb）提出的真理理论八项规范。

ABSTRACT

In this paper a class of languages which are formal enough for mathematical reasoning is introduced. First-order formal languages containing natural numbers and numerals belong to that class. Its languages are called mathematically agreeable (shortly MA). Languages containing a given MA language L, and being sublanguages of L augmended by a monadic predicate are constructed. A mathematical theory of truth (shortly MTT) is formulated for some of these languages. MTT makes them MA languages which posses their own truth predicates. MTT is shown to conform well with the eight norms presented for theories of truth in 'What Theories of Truth Should be Like (but Cannot be)', by Hannes Leitgeb. MTT is free from infinite regress, providing a proper framework to study the regress problem. Main tools used in proofs are Zermelo-Fraenkel (ZF) set theory and classical logic.

研究动机与目标

• 定义一类适合数学推理的形式语言——数学相容（MA）语言——其包含自然数和数字。
• 在不破坏形式一致性的前提下，构建对 MA 语言的扩展，通过添加一元真理谓词。
• 制定一种数学真理理论（MTT），使这些扩展后的语言能够拥有自身的真理谓词。
• 确保 MTT 满足汉内斯·莱特吉布（Hannes Leitgeb）提出的八项可接受真理理论规范。
• 通过将一致且自指的真理谓词嵌入形式系统，解决真理理论中的无限回溯问题。

提出的方法

• 本文将数学相容（MA）语言定义为包含自然数和数字的一阶形式语言。
• 通过向基础 MA 语言 L 添加一元真理谓词，构建语言扩展，形成 L 的子语言并附加真理谓词。
• MTT 在策梅洛-弗兰克尔（ZF）集合论与经典逻辑中构建，确保数学严谨性与一致性。
• 关键构造依赖于 ZF 中的可定义性与满足条件，以在语言自身句子上解释真理谓词。
• 证明真理谓词是良定义的，并在逻辑推理下封闭，避免不一致性。
• 该框架通过将真理谓词嵌入一致的形式系统，确保其不会引发无限回溯。

实验结果

研究问题

• RQ1 一种包含自然数和数字的形式语言能否在不产生不一致的情况下拥有自身的真理谓词？
• RQ2 此类语言的真理理论是否能避免自指中的无限回溯问题？
• RQ3 能否使一种真理理论满足汉内斯·莱特吉布（Hannes Leitgeb）提出的八项可接受真理理论规范？
• RQ4 是否可能在基于 ZF 的形式系统中构建自指真理谓词而不破坏一致性？
• RQ5 如何以一种既数学精确又哲学一致的方式定义真理谓词？

主要发现

• 数学真理理论（MTT）成功地在包含自然数和数字的形式语言中构建出自指真理谓词。
• MTT 避免了无限回溯，为研究形式系统中的自指真理提供了稳定框架。
• 该理论满足汉内斯·莱特吉布（Hannes Leitgeb）所列出的八项真理理论规范，确保了哲学上的连贯性。
• 真理谓词可在策梅洛-弗兰克尔集合论中定义，确保了数学上的一致性与严谨性。
• 该框架允许在语言内部形式化真理，实现内部化的真理评估。
• 该构造表明，当基于强基础理论（如 ZF）时，形式系统中自指真理是可能实现的。