[论文解读] A mating-of-trees approach for graph distances in random planar maps

Ewain Gwynne, Nina Holden+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2017

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 56被引用 11

一句话总结

本文提出了一种树的配对耦合技术，用于推导属于 γ-刘维尔量子重力（LQG） universality class（γ ∈ (0, 2)）的随机平面图中图距离球的非平凡上下界。通过将此类图的编码随机游走与相关二维布朗运动强耦合，作者将此前通过连续理论在 mated-CRT 图中建立的距离估计，成功转移至离散随机平面图，从而首次为加权了生成树、双极定向和施尼德森林的图模型获得了非平凡界，并为 p8/3-mated-CRT 图获得了更紧致的界。

ABSTRACT

Abstract: We introduce a general technique for proving estimates for certain random planar maps which belong to the γ-Liouville quantum gravity (LQG) universality class for γ∈(0, 2). The family of random planar maps we consider are those which can be encoded by a two-dimensional random walk with i.i.d. increments via a mating-of-trees bijection, and includes the uniform infinite planar triangulation (UIPT; γ=8/3); and planar maps weighted by the number of different spanning trees (γ=2), bipolar orientations (γ=4/3), or Schnyder woods (γ=1) that can be put on the map. Using our technique, we prove estimates for graph distances in the above family of random planar maps. In particular, we obtain non-trivial upper and lower bounds for the cardinality of a graph distance ball consistent with the Watabiki (Prog Theor Phys Suppl 114:1–17, 1993) prediction for the Hausdorff dimension of γ-LQG and we establish the existence of an exponent for certain distances in the map. The basic idea of our approach is to compare a given random planar map M to a mated-CRT map—a random planar map constructed from a correlated two-dimensional Brownian motion—using a strong coupling (Zaitsev in ESAIM Probab Stat 2:41–108, 1998) of the encoding walk for M and the Brownian motion used to construct the mated-CRT map. This allows us to deduce estimates for graph distances in M from the estimates for graph distances in the mated-CRT map which we proved (using continuum theory) in a previous work. In the special case when γ=8/3, we instead deduce estimates for the 8/3-mated-CRT map from known results for the UIPT. The arguments of this paper do not directly use SLE/LQG, and can be read without any knowledge of these objects.

研究动机与目标

• 开发一个通用框架，用于估计属于 γ-刘维尔量子重力（LQG） universality class 的随机平面图中的图距离。
• 通过强耦合，将 mated-CRT 图（由相关布朗运动构造）中的距离估计扩展至离散随机平面图。
• 为加权了生成树、双极定向和施尼德森林的图模型，首次提供图距离球基数的非平凡界。
• 改进 p8/3-mated-CRT 图的距离估计，超越 [GHS19] 中的既有结果。

提出的方法

• 使用 Zaitsev (1998) 提出的强耦合，将平面图的编码随机游走与相关二维布朗运动耦合。
• 利用 mated-CRT 图作为连续代理，该图由布朗运动构造，其图距离估计此前已通过连续理论建立。
• 应用该耦合证明：mated-CRT 图与离散图以高概率在多对数因子范围内大致等距。
• 利用平面图与随机游走之间的双射关系（树的配对），将具有 i.i.d. 增量的随机游走编码图。
• 针对特定图模型（UIPT、生成树装饰图、双极定向图、施尼德森林装饰图）分别使用其对应的双射关系进行处理。
• 通过耦合将距离估计从 mated-CRT 图转移到离散图，依赖于该耦合在对数因子范围内保持度量结构的事实。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在加权了生成树、双极定向或施尼德森林的随机平面图中，建立图距离球的非平凡界？
• RQ2 mated-CRT 图是否可在图距离标度上作为离散随机平面图的稳健代理？
• RQ3 能否通过 γ-LQG universality class 中的离散估计，验证 Watabiki (1993) 对 γ-LQG 的 Hausdorff 维数的预测？
• RQ4 γ-LQG 随机平面图中距离的标度指数 χ 是多少？它是否对应于 Gromov-Hausdorff 极限？
• RQ5 能否在 [GHS19] 的基础上，进一步改进 p8/3-mated-CRT 图的结果？

主要发现

• 本文建立了 γ-LQG 随机平面图中图距离球基数的非平凡上下界，与 Watabiki 对 Hausdorff 维数的预测一致。
• 证明了在平面图中存在一个距离的标度指数 χ，该指数预期控制 γ ≤ √2 时的 Gromov-Hausdorff 标度极限。
• 对于 p8/3-mated-CRT 图，本文获得的界比 [GHS19] 中的结果更紧致，达到了当前最优水平。
• 首次为加权了生成树（γ = √2）、双极定向（γ = p4/3）和施尼德森林（γ = 1）的随机平面图，推导出图距离的非平凡界。
• 该耦合技术使得能够以高概率将度量估计从 mated-CRT 图转移到离散图，误差在多对数因子范围内。
• 结果具有鲁棒性，可推广至任何通过 i.i.d. 增量随机游走编码的树的配对双射的图模型，表明其具有广泛适用性。