[论文解读] A MATLAB Code for Three Dimensional Linear Elastostatics using Constant Boundary Elements

Kirana Kumara P|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2013

Numerical methods in engineering参考文献 4被引用 5

一句话总结

本文提出了一种用于求解三维线性弹性静力学问题的开源 MATLAB 代码，采用常数边界元。该代码提供了完整且自包含的实现，包含详细的推导过程，并通过基准问题进行了验证，可作为初学者学习边界元法（BEM）应用的教育工具。

ABSTRACT

Present work presents a code written in the very simple programming language MATLAB, for three dimensional linear elastostatics, using constant boundary elements. The code, in full or in part, is not a translation or a copy of any of the existing codes. Present paper explains how the code is written, and lists all the formulae used. Code is verified by using the code to solve a simple problem which has the well known approximate analytical solution. Of course, present work does not make any contribution to research on boundary elements, in terms of theory. But the work is justified by the fact that, to the best of author's knowledge, as of now, one cannot find an open access MATLAB code for three dimensional linear elastostatics using constant boundary elements. Author hopes this paper to be of help to beginners who wish to understand how a simple but complete boundary element code works, so that they can build upon and modify the present open access code to solve complex engineering problems quickly and easily. The code is available online for open access (as supplementary file for the present paper), and may be downloaded from the website for the present journal.

研究动机与目标

• 提供一种透明的、开源的 MATLAB 实现，用于三维线性弹性静力学的边界元法（BEM）。
• 解决目前在 MATLAB 中缺乏公开可用、适合初学者的三维弹性静力学 BEM 代码的问题。
• 作为教育性资源，详细解释其背后的理论和实现步骤。
• 使研究人员和学生能够扩展和修改该代码，以求解复杂的工程问题。
• 通过一个广为人知的解析基准问题验证实现的正确性。

提出的方法

• 基于 Navier-Cauchy 方程的基本解，推导三维线性弹性静力学的边界积分方程。
• 将边界离散化为常数边界元（在平面三角形单元上使用线性形函数）。
• 采用伽辽金法或配点法，将积分方程转化为线性方程组。
• 通过在三角形单元上对基本解进行解析积分，计算边界元矩阵。
• 以弱奇异形式实现边界条件（位移和面力），以确保数值稳定性。
• 使用 MATLAB 内置求解器求解得到的线性系统，以获得未知的边界变量。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何构建一个完整、开源的 MATLAB 实现，用于三维常数边界元法求解线性弹性静力学问题？
• RQ2 实现三维常数边界元所需的关键数学公式和数值积分技术是什么？
• RQ3 如何通过已知的解析解验证该代码的正确性？
• RQ4 初学者在 MATLAB 中实现边界元法时面临哪些实际挑战？
• RQ5 此类代码如何作为基础，用于扩展至更复杂的弹性静力学问题？

主要发现

• 所实现的 MATLAB 代码成功求解了一个具有已知解析解的三维线性弹性静力学问题，证实了其正确性。
• 通过将计算结果与均匀压力作用下球形孔洞的著名解析解进行比较，验证了代码的准确性。
• 实现包含了所有必要组件：网格输入、基本解计算、矩阵组装以及线性系统的求解。
• 该代码以补充文件形式提供，包括网格文件（STL 和文本格式）及用于验证的结果文件。
• 作者确认，在发表时，尚无公开的、用于三维常数边界元弹性静力学的 MATLAB 代码可用。
• 该代码可作为学习和扩展三维弹性中 BEM 应用的功能性与教育性原型。