[论文解读] A matrix-oriented POD-DEIM algorithm applied to nonlinear differential matrix equations.

Gerhard Kirsten, Valeria Simoncini|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2020

Model Reduction and Neural Networks参考文献 31被引用 4

一句话总结

本文提出了一种面向矩阵的本征正交分解与双侧离散经验插值方法（POD-DEIM），用于求解大规模非线性矩阵微分方程。通过利用左、右投影插值的矩阵结构，实现了高效且结构感知的模型降阶，在包括耦合系统在内的基准问题上表现出优越性能。

ABSTRACT

We are interested in approximating the numerical solution ${\bf U}(t)$ of the large dimensional nonlinear matrix differential equation $\dot{\bf U}(t) = A{\bf U}(t) + {\bf U}(t)B + {\cal F}({\bf U},t) + G$, with appropriate starting and boundary conditions, and $t \in [0, T_f]$. In the framework of the Proper Orthogonal Decomposition (POD) methodology and the Discrete Empirical Interpolation Method (DEIM), we derive a novel matrix-oriented reduction process leading to an effective, structure aware low order approximation of the original problem. The reduction of the nonlinear term is also performed by means of a fully matricial interpolation using left and right projections onto two distinct reduction spaces, giving rise to a new two-sided version of DEIM. Several numerical experiments based on typical benchmark problems illustrate the effectiveness of the new matrix-oriented setting, also for coupled systems of nonlinear matrix differential equations.

研究动机与目标

• 开发一种用于大规模非线性矩阵微分方程的降阶模型，同时保持矩阵结构。
• 解决通过矩阵化、结构感知方法高效近似矩阵微分方程中非线性项的挑战。
• 将DEIM框架扩展至双侧矩阵形式，作用于左、右投影空间。
• 在基准问题（包括矩阵ODE的耦合系统）上展示所提方法的有效性。
• 确保在非线性矩阵系统长时间积分中具有计算效率和精度。

提出的方法

• 该方法应用本征正交分解（POD）从解轨迹的快照矩阵中提取空间与时间模式。
• 利用POD为解矩阵及其非线性项的结构构建低维子空间。
• 引入双侧DEIM，通过分别作用于左、右投影矩阵的独立降维子空间实现插值。
• 采用尊重原始问题矩阵结构的矩阵插值方法近似非线性项。
• 通过将全矩阵微分方程投影到POD子空间，并利用双侧DEIM插值重构非线性项，推导出降阶系统。
• 该方法在整个降阶过程中保持问题的矩阵本质，避免向量化，维持结构保真度。

实验结果

研究问题

• RQ1 面向矩阵的POD-DEIM框架能否有效降低大规模非线性矩阵微分方程的计算成本？
• RQ2 双侧DEIM方法在矩阵结构问题中与标准DEIM相比，在保持精度方面表现如何？
• RQ3 该方法在非线性矩阵ODE的耦合系统中，能在多大程度上保持结构与精度？
• RQ4 矩阵特异性插值对降阶模型的稳定性与收敛性有何影响？
• RQ5 所提方法能否在长时间模拟中实现显著加速，同时保持高精度？

主要发现

• 面向矩阵的POD-DEIM方法通过在整个降阶过程中保持矩阵结构，实现了显著的计算节省。
• 双侧DEIM公式通过仅使用少量插值点，即可实现对非线性项的精确近似，降低了在线计算成本。
• 数值实验表明，该方法在长时间积分中仍保持高精度，优于标准POD-DEIM在结构感知问题中的表现。
• 该方法在非线性矩阵微分方程的耦合系统中有效，展现出鲁棒性与可扩展性。
• 该方法在降低问题维度的同时保持了内在的矩阵结构，从而生成更准确、高效的降阶模型。
• 结果证实，通过面向矩阵的DEIM实现的结构感知模型降阶，相比向量化方法，能显著提升逼近质量。