[论文解读] A maximum principle for infinite horizon delay equations

Nacira Agram, Sven Haadam+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2012

Economic theories and models被引用 5

一句话总结

本文建立了随机时滞方程在无限时域上带有Lévy跳跃的最优控制问题的一阶和二阶充分随机最大值原理，以及一个必要条件。研究证明了带跳跃的高级后向随机微分方程在无限时间域上的解的存在性与唯一性，为解决无需依赖横截性条件的无限时域控制问题提供了理论框架。

ABSTRACT

We prove a maximum principle of optimal control of stochastic delay equations on infinite horizon. We establish first and second sufficient stochastic maximum principles as well as necessary conditions for that problem. We illustrate our results by an application to the optimal consumption rate from an economic quantity.

研究动机与目标

• 为解决在无限时域上随机时滞方程最优控制理论的缺失问题，特别是当系统是非马氏的且动态规划方法不适用时。
• 构建一个能够容纳分布时滞（通过积分项）和由Lévy过程驱动的跳跃扩散的随机最大值原理框架。
• 通过证明在不依赖于终端值趋于零的假设下，满足充分条件，从而克服无限时域问题中横截性条件的挑战。
• 在无限时间域上建立带跳跃的高级后向随机微分方程解的存在性与唯一性结果。
• 为经济学中的应用提供理论基础，例如在延迟信息和记忆效应下的最优消费问题。

提出的方法

• 使用包含状态、时滞和分布记忆分量的随机时滞方程（SDDE）来表述随机控制问题。
• 引入一个哈密顿函数，其中包含状态、时滞和记忆变量的伴随过程，以支持变分分析。
• 通过哈密顿函数的变分不等式和凸性条件，推导出一阶和二阶充分最大值原理。
• 对伴随过程应用伊腾公式，并使用指数加权（参数为λ）来控制增长并确保可积性。
• 通过压缩映射法，证明了在无限时间域上带跳跃的高级后向随机微分方程（BSDE）解的存在性与唯一性。
• 对系数施加一类李雅普诺夫型条件，并使用格朗沃尔型不等式来控制解之间的差异。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为具有无限时间域的随机时滞方程最优控制问题制定最大值原理？
• RQ2 在无限时域上，高级后向随机微分方程带跳跃的解的存在性与唯一性需满足何种条件？
• RQ3 是否可以在不依赖于假设终端值趋于零的横截性条件的前提下，推导出充分与必要的最优性条件？
• RQ4 如何将分布记忆（积分时滞）和通过Lévy过程产生的跳跃整合进最大值原理框架中？
• RQ5 在无限时域设定下，指数加权在确保伴随过程的可积性与收敛性方面起到何种作用？

主要发现

• 为具有跳跃的无限时域随机时滞控制问题建立了第一和第二阶充分随机最大值原理，且无需依赖横截性条件。
• 推导出一个必要最大值原理，将控制的最优性与在允许控制集上哈密顿函数变分的非正性联系起来。
• 在一类李雅普诺夫型条件下，证明了在无限时域上带跳跃的高级后向随机微分方程解的存在性与唯一性。
• 唯一性证明依赖于参数λ的指数加权技术，其中λ被选择为足够大以主导系数的利普希茨常数。
• 证明了伴随过程（p, q, r）在相同加权下不可区分，从而在L²意义下确认了解的唯一性并具有指数衰减特性。
• 该框架被应用于一个关于从随机时滞过程获得最优消费速率的经济模型，展示了其在宏观经济学与金融建模中的实际应用价值。