[论文解读] A Maximum Principle for Optimal Control of Stochastic Evolution Equations

Kai Du, Qingxin Meng|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2012

Stochastic processes and financial applications被引用 4

一句话总结

本文通过一种新颖的二阶对偶分析方法，结合勒贝格微分与逼近技术，推导出一个算子值的二阶伴随过程，为具有非凸控制集和控制依赖扩散项的无限维随机演化方程的最优控制建立了一般性的最大值原理。关键贡献在于将庞的有限维最大值原理推广至抽象的无限维设定，提出了一个必要的最优性条件。

ABSTRACT

A general maximum principle is proved for optimal controls of abstract semilinear stochastic evolution equations. The control variable, as well as linear unbounded operators, acts in both drift and diffusion terms, and the control set need not be convex.

研究动机与目标

• 填补长期以来在具有非凸控制集和控制依赖扩散项的无限维随机控制系统的通用最大值原理推导方面的空白。
• 将庞的有限维最大值原理推广至希尔伯特空间中的抽象半线性随机演化方程。
• 在无限维设定下发展一种新的二阶对偶分析方法，克服求解算子值倒向随机微分方程的挑战。
• 建立适用于广泛类别的具有受控系数的随机偏微分方程的必要最优性条件。
• 为受控SPDE和具有非线性成本泛函的随机热方程等具体问题提供理论基础。

提出的方法

• 针对由维纳过程驱动的半线性随机演化方程，制定最优控制问题，其中包含无界线性算子以及依赖于控制的漂移和扩散项。
• 应用二阶变分法推导变分不等式，重点关注扰动分析中出现的二次项。
• 利用勒贝格微分定理与逼近论证，证明二次项收敛于一个随机双线性泛函。
• 引入作为算子值过程的二阶伴随过程，以表示该双线性泛函，从而实现最大值条件的推导。
• 建立状态过程的$L^p$-估计，并分析随机双线性泛函的正则性与表示形式。
• 通过证明一阶变分条件导出涉及伴随过程与控制扰动的必要最优性条件，从而推导出最大值原理。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有非凸控制集和控制依赖扩散项的无限维随机控制系统建立一个通用的最大值原理？
• RQ2 当关联的倒向随机微分方程为算子值且可能不可解时，如何在无限维设定下进行二阶对偶分析？
• RQ3 当成本泛函在状态与控制中为非线性时，二阶伴随过程在刻画最优性方面起什么作用？
• RQ4 所提出的方法在多大程度上可应用于具有受控系数和非凸控制域的具体随机PDE？
• RQ5 该方法能否处理现有文献中未涵盖的、在控制中具有二次项的成本泛函？

主要发现

• 本文证明了针对具有非凸控制集和控制依赖扩散项的抽象半线性随机演化方程最优控制的一般最大值原理。
• 通过逼近论证与勒贝格微分定理，实现了二阶对偶分析，避免了直接求解算子值倒向随机微分方程。
• 二次变分项收敛于由算子值二阶伴随过程表示的随机双线性泛函。
• 必要最优性条件以涉及一阶与二阶伴随过程及控制扰动的最大值条件形式被推导出。
• 将抽象结果应用于两个例子：受控超抛物型SPDE与具有非线性成本的随机热方程，两者均具有非凸控制与二次成本项。
• 该方法被证明适用于先前工作（如[10]和[5]）未涵盖的问题，尤其得益于对二次成本泛函的处理。