[论文解读] A Maximum Problem of S.-T. Yau for Variational p-Capacity

Jie Xiao|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2013

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 38被引用 4

一句话总结

该论文解决了S.-T. Yau在1982年提出的关于通过变分p-电容在ℝⁿ中预设平均曲率的受限版本问题，证明了在p ∈ (1,n)时，ℝⁿ中凸超曲面的半径是变分p-电容半径的精确上界。论文表明，涉及p-电容和可积函数h的泛函的极值点满足p-Eikonal方程，且在C²严格凸条件下，该方程在点态意义下成立；同时证明当p→1时，极限恢复了表面积，从而将变分p-电容与经典几何测度论联系起来。

ABSTRACT

Through using the semidiameter (in connection to: the mean radius and surface radius) of a convex closed hypersurface in $\mathbb R^{n\ge 2}$ as an sharp upper bound of the variational $(1,n) i p$-capacity radius, this paper settles a restriction/variant of S.-T. Yau's \cite[Problem 59]{Yau} from the surface area to the variational $p$-capacity whose limit as $p o 1$ actually induces the surface area.

研究动机与目标

• 解决S.-T. Yau于1982年提出的关于在ℝⁿ中凸体上通过变分p-电容预设曲率的受限版本问题。
• 利用凸超曲面的半直径，为变分(1,n)∋p-电容半径建立精确上界。
• 刻画在凸体A ∈ ℂⁿ上泛函F_pcap(A) = ∫_A h dℒⁿ − p-cap(A)的极值点。
• 证明当p→1时，p-电容的极限恢复表面积，从而将变分p-电容与经典几何测度论联系起来。

提出的方法

• 通过在紧支集C∞函数中取∫|∇f|ᵖ dℒⁿ的下确界，定义变分p-电容。
• 应用高斯映射的拉回，通过g*将∂A上的测度h dℋⁿ⁻¹与𝕊ⁿ⁻¹上的Borel测度关联起来。
• 通过对F_pcap(A)取一阶变分，并利用球面上的曲率测度μ_{ℋⁿ⁻¹,A}，推导出极值点的必要条件。
• 在C²严格凸条件下，证明p-Eikonal方程(p−1)|∇u_A|ᵖ = h在∂A上几乎处处成立。
• 运用Minkowski型公式和曲率测度理论，推导出涉及拉回测度的临界点条件。
• 利用Bonessen–Fuglede不等式排除极值点序列的退化性，确保半直径上界具有有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于p ∈ (1,n)，ℝⁿ中凸体的变分p-电容半径的精确上界是什么？
• RQ2 变分p-电容泛函F_pcap(A) = ∫_A h dℒⁿ − p-cap(A)在凸体上的行为如何？它在何时取得最大值？
• RQ3 在极值点处，平衡电势u_A满足何种PDE？它与给定函数h有何关系？
• RQ4 当p→1时，p-电容泛函发生什么变化？它是否恢复表面积？
• RQ5 在何种正则性条件下，F_pcap(A)的极值点可作为预设曲率问题的解？

主要发现

• ℝⁿ中凸超曲面的半直径为变分(1,n)∋p-电容半径提供了精确上界。
• 当且仅当存在某个B₀ ∈ ℂⁿ使得F_pcap(B₀) ≥ 0时，F_pcap(A)在ℂⁿ中存在极值点A₀。
• 在极值点A处，p-Eikonal方程(p−1)|∇u_A|ᵖ = h在通过高斯映射g*的拉回测度意义下成立。
• 若∂A为C²严格凸，则(p−1)|∇u_A|ᵖ = h在∂A上逐点成立。
• 当p→1时，变分p-电容收敛于表面积，即∫|∇u_A| dℒⁿ → ℋⁿ⁻¹(∂A)，从而恢复经典1-电容。
• 若h属于Cᵏ,α类，且∂A为C²严格凸，则由Monge–Ampère方程的正则性理论，∂A属于Cᵏ⁺²,α类。