[论文解读] A McKay Correspondence in Positive Characteristic

Christian Liedtke|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2022

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 4

一句话总结

本文在特征 p ≥ 7 的正特征下，为 SL₂ 的有限且线性约化子概形建立了 McKay 对应，将经典的 McKay 对应关系扩展至非驯化情形。通过霍普夫代数表示定义了有限概形群的共轭类，并证明了共轭类、不可约表示与仿射 Dynkin 图顶点之间的双射，从而为该特征范围内的所有有理双 singularity（有理双奇异点）建立了 McKay 对应关系。

ABSTRACT

We establish a McKay correspondence for finite and linearly reductive subgroup schemes of $\mathrm{SL}_2$ in positive characteristic. As an application, we obtain a McKay correspondence for all rational double point singularities in characteristic $p\geq7$. We discuss linearly reductive quotient singularities and canonical lifts over the ring of Witt vectors. In dimension 2, we establish simultaneous resolutions of singularities of these canonical lifts via $G$-Hilbert schemes. In the appendix, we discuss several approaches towards the notion of conjugacy classes for finite group schemes: This is an ingredient in McKay correspondences, but also of independent interest.

研究动机与目标

• 将经典的 McKay 对应关系扩展至正特征，特别是当 p 整除群阶时的非驯化情形。
• 为代数闭域上正特征的有限概形群定义有意义的共轭类概念。
• 利用线性约化群概形，为特征 p ≥ 7 时的有理双奇异点建立 McKay 对应关系。
• 研究这些奇异点的导出范畴结构及其在 Witt 环上的规范提升。
• 比较并评估有限概形群中多种共轭类定义方法，尤其关注通过霍普夫代数表示的方法。

提出的方法

• 通过半单性，利用有限概形群 G 的有限维、k-线性表示范畴定义线性约化群概形。
• 在霍普夫代数 H⁰(G, O_G)* 上应用扩展的伴随表示，通过简单子表示定义共轭类。
• 利用不可约表示的同构类与共轭类构造 McKay 图 Γ 及其仿射扩张  Γ̂。
• 利用 G-Hilbert 概形，在 Witt 环上实现商奇异点的规范提升的同步解析。
• 分析如 μ_p^n 和 α_p 等概形群相关霍普夫代数的结构，特别是其伴随表示与扩展伴随表示。
• 比较六种有限概形群中共轭类的定义方法，偏好在直线约化情形下使用扩展伴随表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在正特征 p ≥ 7 下，即使群阶被 p 整除，也为有理双奇异点建立 McKay 对应关系？
• RQ2 对于正特征下非 étale 的有限概形群，应如何适当地推广共轭类的概念？
• RQ3 在直线约化情形下，霍普夫代数 H⁰(G, O_G)* 的表示如何与共轭类及不可约表示相关联？
• RQ4 在 Witt 环上，商奇异点的规范提升在多大程度上可通过 G-Hilbert 概形实现同步解析？
• RQ5 在多种提出的有限概形群共轭类定义中，哪一种能产生一致且有用的 McKay 对应关系？

主要发现

• 在特征 p ≥ 7 下，利用 SL₂ 的有限且线性约化子概形，为所有有理双奇异点建立了 McKay 对应关系。
• 在代数闭域 k 上，有限且线性约化概形群 G 的共轭类数量等于 G 的简单表示的同构类数量。
• 在霍普夫代数 H⁰(G, O_G)* 上的扩展伴随表示分解为同调分量，这些分量与共轭类一一对应，从而提供了共轭类的表示论定义。
• 对于线性约化概形群，G_abs = G(k) 的正则表示的对偶可分解为以共轭类为指标的分量，暗示共轭类与不可约表示之间存在对偶关系。
• 在 Witt 环上，线性约化商奇异点的规范提升在二维情形下可通过 G-Hilbert 概形实现同步解析。
• 扩展伴随表示方法即使在非驯化情形下也能提供一致的共轭类定义，而 A 或 A* 上的伴随表示可能不半单，因此不适用。