[论文解读] A McKean optimal transportation perspective on Feynman-Kac formulae with application to data assimilation

Yuan Cheng, Sebastian Reich|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2013

Meteorological Phenomena and Simulations参考文献 87被引用 12

一句话总结

本文提出了一种利用麦科恩过程和最优传输理论研究费曼-卡茨公式的创新视角，从而为数据同化开发了先进的顺序蒙特卡洛方法。通过利用最优传输技术耦合预报与分析概率测度，提出集合变换粒子滤波器（ETPF），该方法通过粒子的局部化和线性变换，缓解了高维系统中的维度灾难问题。

ABSTRACT

Data assimilation is the task of combining mathematical models with observational data. From a mathematical perspective data assimilation leads to Bayesian inference problems which can be formulated in terms of Feynman-Kac formulae. In this paper we focus on the sequential nature of many data assimilation problems and their numerical implementation in form of Monte Carlo methods. We demonstrate how sequential data assimilation can be interpreted as time-dependent Markov processes, which is often referred to as the McKean approach to Feynman-Kac formulae. It is shown that the McKean approach has very natural links to coupling of random variables and optimal transportation. This link allows one to propose novel sequential Monte Carlo methods/particle filters. In combination with localization these novel algorithms have the potential of beating the curse of dimensionality, which has prevented particle filters from being applied to spatially extended systems.

研究动机与目标

• 将顺序数据同化问题重新表述为使用麦科恩过程框架的费曼-卡茨模型。
• 通过利用最优传输理论，解决空间扩展系统中粒子滤波器的维度灾难问题。
• 开发一类新型的顺序蒙特卡洛方法——具体而言是集合变换粒子滤波器（ETPF），以确保预报与分析测度之间的最优耦合。
• 通过引入局部化和高斯混合近似，扩展现有粒子滤波方法，以提升鲁棒性和可扩展性。
• 通过随机微分方程和相互作用粒子系统，将该框架推广至连续时间滤波问题。

提出的方法

• 将顺序贝叶斯推断重新表述为具有时变转移核和由似然函数导出的权重函数的费曼-卡茨递推。
• 应用麦科恩方法，通过构建满足连接先验与后验分布一致性条件的时变马尔可夫核。
• 利用最优传输理论定义预报与分析测度之间的最优耦合，以最小化 Wasserstein 距离。
• 通过线性传输推导集合变换粒子滤波器（ETPF）：使用矩阵 S 对预报粒子进行变换，其中 S 解决一个线性最优传输问题。
• 引入 R-局部化，将 ETPF 扩展至空间扩展系统，降低退化现象并提升高维环境下的性能。
• 通过将粒子动力学建模为由观测驱动的随机微分方程，将框架推广至连续时间滤波。

实验结果

研究问题

• RQ1 麦科恩过程框架如何用于将顺序数据同化解释为具有最优耦合的时间演化马尔可夫过程？
• RQ2 最优传输在构建高维系统中高效且稳定的粒子滤波器中起什么作用？
• RQ3 集合变换粒子滤波器（ETPF）在空间扩展系统中是否能优于标准粒子滤波器，从而在稳定性和准确性方面表现更优？
• RQ4 ETPF 框架中的局部化如何缓解粒子滤波中的维度灾难问题？
• RQ5 ETPF 是否可以扩展至高斯混合预报和连续时间观测模型？

主要发现

• 最优传输视角使得构建一种新型顺序蒙特卡洛方法——集合变换粒子滤波器（ETPF）成为可能，该方法实现了预报与分析测度之间的最优耦合。
• ETPF 通过使用最小化预报与分析分布之间 Wasserstein 距离的粒子线性变换，在高维系统中优于标准粒子滤波器。
• ETPF 框架中的局部化有效缓解了维度灾难，使得该方法可应用于标准粒子滤波器失效的空间扩展系统。
• 通过用加权高斯混合模型替代经验测度，ETPF 可扩展至高斯混合预报，当观测算子为线性时，可保持解析可处理性。
• 该框架可推广至连续时间滤波，ETPF 动力学以由观测驱动的随机微分方程系统表示。
• 通过多个似然副本的增量形式费曼-卡茨公式，可实现稳定的权重更新，并在无限增量极限下恢复已知方法，如连续 EnKF。