[论文解读] A Mean-field Approach for Controlling Singularly Perturbed Multi-population SIS Epidemics

P T Akhil, Eitan Altman+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2019

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 21被引用 3

一句话总结

本文提出了一种基于平均场奇异摄动的控制方法，用于控制包含一个移动群体和多个孤立群体的多群体SIS流行病。通过将跨群体互动建模为可控速率，利用奇异摄动理论推导出降阶的常微分方程（ODE）系统，从而通过庞特里亚金最小值原理实现最优控制。关键结果表明，即使在孤立群体中感染本应迅速消亡，移动节点仍可促进传播，使感染在所有群体中持续存在；且在大群体规模下，该控制策略被严格证明为近似最优。

ABSTRACT

We consider a multi-population epidemic model with one or more (almost) isolated communities and one mobile community. Each of the isolated communities has contact within itself and, in addition, contact with the outside world but only through the mobile community. The contact rate between the mobile community and the other communities is assumed to be controlled. We first derive a multidimensional ordinary differential equation (ODE) as a mean-field fluid approximation to the process of the number of infected nodes, after appropriate scaling. We show that the approximation becomes tight as the sizes of the communities grow. We then use a singular perturbation approach to reduce the dimension of the ODE and identify an optimal control policy on this system over a fixed time horizon via Pontryagin's minimum principle. We then show that this policy is close to optimal, within a certain class, on the original problem for large enough communities. From a phenomenological perspective, we show that the epidemic may sustain in time in all communities (and thus the system has a nontrivial metastable regime) even though in the absence of the mobile nodes the epidemic would die out quickly within each of the isolated communities.

研究动机与目标

• 分析通过移动群体实现的跨群体互动是否能够维持原本会迅速消亡的孤立群体中的流行病。
• 开发一种可扩展的控制策略，在有限时间范围内最大化信息传播（或感染）同时最小化对移动群体互动的控制成本。
• 通过平均场和奇异摄动近似，建立原始随机流行病过程与降阶确定性流体极限之间的严格联系。
• 证明从降阶系统导出的最优控制策略在大群体规模下与原始系统的最优策略接近。

提出的方法

• 在将群体规模趋于无穷大后，推导出描述感染群体动态的多维常微分方程（ODE），作为平均场流体近似的版本。
• 应用奇异摄动理论，将孤立群体内部的快速动态与移动群体的慢速动态分离，将系统简化为一维ODE。
• 利用庞特里亚金最小值原理，针对固定时间范围，在降阶ODE系统上推导出最优控制策略。
• 通过证明原始过程中感染节点的经验分布随群体规模增大而收敛到降阶系统的轨迹，建立流体近似的紧致性。
• 使用杜布不等式和马尔可夫不等式界定近似误差，表明在特定缩放下，收敛概率的速率为 $ O(1/\text{log } n) $。
• 通过证明降阶系统的值函数收敛到原始系统的值函数，验证控制策略的近似最优性，当 $ n \to \infty $ 时。

实验结果

研究问题

• RQ1 移动群体是否能够维持原本会迅速消亡的孤立群体中的感染？
• RQ2 在有限时间范围内最大化感染传播同时最小化控制成本的最优控制策略是什么？
• RQ3 在大群体规模下，降阶ODE模型在多大程度上能准确近似完整随机流行病过程的行为？
• RQ4 流体极限与奇异摄动降阶方法在收敛性和近似最优性方面能否得到严格证明？
• RQ5 随着群体规模增大，流体近似与控制策略向原始系统的收敛速率是多少？

主要发现

• 由于移动群体带来的跨群体传播，即使每个孤立群体原本会迅速导致感染消亡，感染仍可在所有孤立群体中持续存在。
• 降阶的一维ODE系统能准确捕捉完整系统的长期行为，且在适当缩放下，流体近似误差被限制在 $ O(1/\log n) $ 以内。
• 从降阶系统导出的最优控制策略在数学上被证明与原始系统的最优策略非常接近，且两者值函数的差异随 $ n \to \infty $ 而消失。
• 近似误差的收敛速率为 $ O(1/\log n) $，且偏离流体极限的罕见事件概率以 $ O(1/\log n) $ 的速率衰减。
• 分析中的利普希茨常数按 $ O(1/\varepsilon) $ 的方式缩放，其中 $ \varepsilon $ 控制时间尺度分离；在 $ \varepsilon \to 0 $ 且 $ \varepsilon \geq C/\log n $ 的适当缩放下，误差界趋于零。
• 原始问题的值函数收敛到降阶问题的值函数，其差异被一个常数乘以 $ O(1/\log n) $ 所界定，从而证实了控制策略的近似最优性。