[论文解读] A mean value formula and a Liouville theorem for the complex Monge-Ampère equation

Chao Li, Jiayu Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 18被引用 3

一句话总结

本文在具有非负 Ricci 曲率的完备黎曼流形上，为有界次调 Hermitian 矩阵值函数建立了平均值公式，证明其在大球面上的平均收敛于一个常 Hermitian 矩阵。作为应用，本文证明了在乘积流形上复 Monge-Ampère 方程的 Liouville 型定理，表明在特定曲率与体积增长条件下，Kähler 度量必为 $\mathbb{C}^m$ 上的平坦度量与紧致流形上 Ricci 平坦度量之和。

ABSTRACT

In this paper, we prove a mean value formula for bounded subharmonic Hermitian matrix valued function on a complete Riemannian manifold with nonnegative Ricci curvature. As its application, we obtain a Liouville type theorem for the complex Monge-Ampère equation on product manifolds.

研究动机与目标

• 将经典次调函数的平均值性质推广至具有非负 Ricci 曲率的完备黎曼流形上，有界次调 Hermitian 矩阵值函数的情形。
• 在乘积流形 $\mathbb{C}^m \times Y$ 上，为复 Monge-Ampère 方程建立 Liouville 型定理，其中 $Y$ 是具有非负 Ricci 曲率的紧致 Kähler 流形。
• 通过去除对 Calabi $\mathcal{C}^3$ 估计的依赖，转而利用矩阵值函数的平均值收敛性，推广此前关于复 Monge-Ampère 方程的结果。
• 在体积增长与曲率有界条件下，证明 $\mathbb{C}^m \times Y$ 上的 Kähler 度量必分解为 $\mathbb{C}^m$ 上的平坦度量与 $Y$ 上的 Ricci 平坦度量之和。

提出的方法

• 通过所有 $\xi \in \mathbb{C}^m$ 的二次型 $\xi A \xi^*$ 的次调性，定义 Hermitian 矩阵值函数的次调性。
• 证明平均值公式：有界次调 Hermitian 矩阵函数 $A$ 在大测地线球面上的平均值在半径 $r \to \infty$ 时收敛于一个常 Hermitian 矩阵 $A_0$，即 $\lim_{r\to\infty} \fint_{B_r(p)} A \, dV_g = A_0$。
• 利用平均值收敛性与最大值原理，证明 $A \leq A_0$ 在 $M$ 上成立。
• 将平均值公式应用于 Kähler 度量 $\omega$ 在 $\mathbb{C}^m \times Y$ 上的度量分量 $u^{i\bar{j}}$ 的逆，证明其平均值收敛于常矩阵 $A$。
• 利用体积比较与度量比较估计，将 $\omega$-球面平均与 $\mathbb{C}^m \times Y$ 上的 $g_0$-球面平均联系起来，建立 $\fint_{B_r(z_0)\times Y} \det(u^{i\bar{j}}) \, dV_{g_0} = \det A$。
• 由此推导出 $\det(u^{i\bar{j}}) \equiv \det A = c$，并进一步得出 $u^{i\bar{j}} \equiv A$，意味着度量在 $\mathbb{C}^m$ 方向上为常数，因此 $\nabla_{g_0} g = 0$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在具有非负 Ricci 曲率的完备黎曼流形上，为有界次调 Hermitian 矩阵值函数建立平均值公式？
• RQ2 此类矩阵函数的平均值收敛是否意味着其基底流形几何的刚性？
• RQ3 在何种条件下，$\mathbb{C}^m \times Y$ 上的复 Monge-Ampère 方程会迫使 Kähler 度量分解为 $\mathbb{C}^m$ 上的平坦度量与 $Y$ 上的 Ricci 平坦度量之和？
• RQ4 能否在不依赖 Calabi $\mathcal{C}^3$ 估计的条件下，证明复 Monge-Ampère 方程的 Liouville 定理？
• RQ5 平均值公式在证明乘积空间上 Kähler 度量的刚性中起何作用？

主要发现

• 有界次调 Hermitian 矩阵值函数 $A$ 在大测地线球面上的平均值收敛于常 Hermitian 矩阵 $A_0$，即 $\lim_{r\to\infty} \fint_{B_r(p)} A \, dV_g = A_0$。
• 矩阵 $A$ 满足在 $M$ 上 $A \leq A_0$，且在平均值极限下取等。
• 在 $\mathbb{C}^m \times Y$ 上的复 Monge-Ampère 方程中，在给定曲率与体积增长有界条件下，$\det(u^{i\bar{j}}) \equiv \det A = c$，其中 $c$ 为正常数。
• 逆度量分量 $u^{i\bar{j}}$ 为常矩阵，即 $u^{i\bar{j}} \equiv A$。
• 将 Kähler 形式 $\omega$ 拉回到每个纤维 $\{z\} \times Y$ 上，满足 $i_z^* \omega = \omega_Y$，表明度量在 $\mathbb{C}^m$ 方向上为常数。
• 度量联络 $\nabla_{g_0} g$ 恒为零，即 $\nabla_{g_0} g = 0$，因此度量在 $\mathbb{C}^m$ 方向上平坦，且整体度量分解为 $\omega = \omega_Y + S^* \omega_{\mathbb{C}^m}$。