[论文解读] A measure and orientation preserving homeomorphism of a cube with Jacobian equal $-1$ almost everywhere

Paweł Goldstein, Piotr Hajłasz|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2015

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 21被引用 8

一句话总结

本文构建了一个几乎处处几乎可微、保持定向与测度的单位 n-立方体到自身的同胚，其雅可比行列式几乎处处等于 -1。其主要贡献在于证明了此类变换的存在性，并可由保持定向与测度的微分同胚一致逼近，从而解决了在该背景下负雅可比行列式与测度及定向保持之间兼容性的长期悬而未决问题。

ABSTRACT

We construct an almost everywhere approximately differentiable, orientation and measure preserving homeomorphism of a unit $n$-dimensional cube onto itself, whose Jacobian is equal to $-1$ a.e. Moreover we prove that our homeomorphism can be uniformly approximated by orientation and measure preserving diffeomorphisms.

研究动机与目标

• 构建单位 n-立方体的一个同胚，其保持测度与定向，且雅可比行列式几乎处处为 -1。
• 证明此类同胚可由保持定向与测度的微分同胚一致逼近。
• 解决负雅可比行列值在保持测度与定向的映射中看似矛盾的问题。
• 拓展对高维体积保持同胚的正则性与可微性性质的理解。

提出的方法

• 通过在单位 n-立方体上精心设计的分段线性且几乎可微的映射，构建同胚。
• 通过控制局部体积的扩张与收缩，确保雅可比行列式几乎处处为 -1。
• 利用立方体的 dyadic 子立方体划分，定义局部变换，从而在整体上保持测度与定向。
• 应用极限过程，确保在保持测度与定向的同时，能一致逼近光滑微分同胚。
• 采用近似可微性的概念，处理同胚的非光滑性，同时保持对雅可比行列式的控制。
• 依赖于一列微分同胚序列，其一致收敛于所构造的同胚，且每个均保持测度与定向。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个单位立方体的同胚，其保持测度与定向，且雅可比行列式几乎处处为 -1？
• RQ2 能否由保持定向与测度的微分同胚一致逼近此类同胚？
• RQ3 在同胚中，负雅可比行列式如何与整体测度与定向保持共存？
• RQ4 体积保持同胚必须具备何种结构性质，才能允许其雅可比行列式几乎处处为负？

主要发现

• 存在一个单位 n-立方体的同胚，其几乎处处几乎可微，保持测度与定向，且雅可比行列式几乎处处等于 -1。
• 所构造的同胚可由保持定向与测度的微分同胚一致逼近，表明此类微分同胚的闭包包含了这一奇异情形。
• 此类映射的存在性表明，负雅可比行列值并不排除同胚在整体上保持测度与定向。
• 该构造依赖于 dyadic 划分与局部体积保持变换，其雅可比行列式符号相反，但整体上平衡以保持定向。