[论文解读] A measure of similarity between graph vertices

Vincent D. Blondel, Anahí Gajardo+3 more|ArXiv.org|Jul 28, 2004

Complex Network Analysis Techniques参考文献 9被引用 12

一句话总结

本文提出了一种基于邻接矩阵的迭代矩阵方法，用于计算有向图中顶点之间的新型相似性度量。该方法通过非负矩阵的主特征向量计算相似性得分，推广了Kleinberg的枢纽/权威评分方法，适用于同义词抽取和网页搜索相关性排序等应用。

ABSTRACT

We introduce a concept of similarity between vertices of directed graphs. Let G_A and G_B be two directed graphs. We define a similarity matrix whose (i, j)-th real entry expresses how similar vertex j (in G_A) is to vertex i (in G_B. The similarity matrix can be obtained as the limit of the normalized even iterates of a linear transformation. In the special case where G_A=G_B=G, the matrix is square and the (i, j)-th entry is the similarity score between the vertices i and j of G. We point out that Kleinberg's "hub and authority" method to identify web-pages relevant to a given query can be viewed as a special case of our definition in the case where one of the graphs has two vertices and a unique directed edge between them. In analogy to Kleinberg, we show that our similarity scores are given by the components of a dominant eigenvector of a non-negative matrix. Potential applications of our similarity concept are numerous. We illustrate an application for the automatic extraction of synonyms in a monolingual dictionary.

研究动机与目标

• 为两类有向图的顶点之间定义一种原理清晰、可计算的相似性度量，适用于多种基于图的任务。
• 将Kleinberg的枢纽与权威评分框架推广至任意图对之间的更广泛相似性语境。
• 实现实际应用，例如单语词典中的自动同义词抽取和网页搜索相关性的改进。
• 建立相似性矩阵的理论性质，包括收敛性和谱表征。
• 通过相似性矩阵探索与图同构性以及乘积图结构特性的关联。

提出的方法

• 将相似性矩阵 S 定义为如下递推关系的归一化偶数次迭代的极限：S(k+1) = B S(k) A^T + B^T S(k) A，初始值 S(0) 为全1矩阵。
• 利用两个有向图的邻接矩阵 A 和 B 计算其顶点之间的相似性得分。
• 证明相似性得分对应于由 A 和 B 衍生出的非负矩阵的主特征向量的分量。
• 从 G_A 和 G_B 构造一个乘积图，对其进行对称化，并通过识别具有最大Perron根的连通分量来确定非零相似性条目。
• 将该方法应用于实际任务，例如通过将词共现建模为图并计算顶点相似性，实现同义词抽取。
• 利用迭代矩阵的谱性质，证明偶数和奇数子序列的收敛性，并表征极限行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何以稳定且可扩展的方式，为两类有向图的顶点之间定义并计算一种通用的相似性度量？
• RQ2 该相似性度量在何种程度上推广了Kleinberg的枢纽与权威评分方法？
• RQ3 所得相似性矩阵的谱性质和结构特性是什么？它们与图连通性的关系如何？
• RQ4 相似性矩阵能否用于检测图同构性，或识别图之间的结构等价性？
• RQ5 在何种条件下，相似性矩阵的所有条目均为正？这与乘积图连通性的关系如何？

主要发现

• 相似性矩阵 S 是涉及两个图邻接矩阵 A 和 B 的线性递推关系的归一化偶数次迭代的极限。
• 相似性得分对应于由 A 和 B 衍生出的非负矩阵的主特征向量的分量，确保了稳定性和可解释性。
• 该方法推广了Kleinberg的枢纽与权威算法：当一个图是两节点的有向边时，相似性得分退化为枢纽与权威得分。
• 相似性矩阵的所有条目均为正，当且仅当 G_A 和 G_B 的对称化乘积图是连通的，而这种情况恰好发生在乘积图弱连通时。
• 相似性矩阵可用于检测同构性：若通过行与列的置换可使 S 变为对称矩阵，则图可能同构，且当矩阵条目互异时，该检测可在多项式时间内完成。
• 实验表明，该方法能有效从单语词典中提取同义词，通过在共现图中识别结构相似的词顶点实现。