[论文解读] A Mermin--Wagner theorem for quantum Gibbs states on 2D graphs, II

Mark Kelbert, Yurii Suhov|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2012

Theoretical and Computational Physics被引用 1

一句话总结

该论文为二维图上的连续自旋系统建立了梅尔敏-沃格特定理的量子推广，证明了在相互作用势为 $ C^2 $-光滑且 $ G $-不变的条件下，定义类 $ \fG $ 中的所有吉布斯态在连通李群 $ G $ 的作用下保持不变。通过费曼-海克表示和无限体积吉布斯态构造，表明在二维图上的此类量子系统中，连续对称性无法发生自发对称性破缺。

ABSTRACT

This is the first of a series of papers considering symmetry properties of quantum systems over 2D graphs or manifolds, with continuous spins, in the spirit of the Mermin--Wagner theorem. In the model considered here (quantum rotators) the phase space of a single spin is a $d-$dimensional torus, and spins (or particles) are attached to sites of a graph satisfying a special bi-dimensionality property. The kinetic energy part of the Hamiltonian is minus a half of the Laplace operator. We assume that the interaction potential is C$^2$-smooth and invariant under the action of a connected Lie group ${ tG}$. A part of our approach is to give a definition (and a construction) of a class of infinite-volume Gibbs states for the systems under consideration (the class $\fG$). This class contains the so-called limit Gibbs states, with or without boundary conditions. We use ideas and techniques originated from various past papers, in combination with the Feynman--Kac representation, to prove that any state lying in the class $\fG$ (defined in the text) is ${ tG}$-invariant. An example is given where the interaction potential is singular and there exists a Gibbs state which is not ${ tG}$-invariant. In the next paper under the same title we establish a similar result for a bosonic model where particles can jump from a vertex of the graph to one of its neighbors (a generalized Hubbard model).

研究动机与目标

• 将梅尔敏-沃格特定理推广至二维图或流形上的量子连续自旋系统。
• 定义并构造一类无限体积吉布斯态（$ \fG $），其包含带或不带边界条件的极限吉布斯态。
• 证明在相互作用势满足光滑性和不变性条件时，$ \fG $ 中任意吉布斯态在连通李群 $ G $ 的作用下保持不变。
• 证明当相互作用为 $ C^2 $-光滑且 $ G $-不变时，此类系统中对称性破缺不可能发生。
• 提供一个奇异势的反例，表明当光滑性不成立时 $ G $-不变性会失效，从而凸显光滑性的必要性。

提出的方法

• 为二维图上具有连续自旋的量子旋子模型引入一类无限体积吉布斯态 $ \fG $。
• 利用费曼-海克表示将量子统计力学与随机过程及路径积分联系起来。
• 应用先前关于吉布斯态和相空间测度研究中的技术，构造并分析 $ \fG $。
• 利用底层图的二维性质，确保几何约束与梅尔敏-沃格特机制相容。
• 对相互作用势施加 $ C^2 $-光滑性和 $ G $-不变性条件，以实现对对称性性质的分析控制。
• 通过泛函分析与概率方法分析吉布斯态的对称性，证明其在 $ G $ 作用下不变。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有连续自旋的二维图上，量子吉布斯态中的连续对称性是否可能发生自发对称性破缺？
• RQ2 何种相互作用势条件可确保此类量子系统中吉布斯态的 $ G $-不变性？
• RQ3 如何为二维图上的量子系统定义并构造一致的无限体积吉布斯态类？
• RQ4 相互作用势的 $ C^2 $-光滑性是否为热力学极限中对称性保持所必需？
• RQ5 能否构造一个反例，使得由于奇异相互作用势的存在，$ G $-不变性失效？

主要发现

• 在相互作用势为 $ C^2 $-光滑且 $ G $-不变的条件下，属于类 $ \fG $ 的任意吉布斯态在连通李群 $ G $ 的作用下保持不变。
• 类 $ \fG $ 的构造同时包含带边界条件和不带边界条件的极限吉布斯态，确保了广泛应用性。
• 证明依赖于费曼-海克表示，将量子系统映射为随机过程，从而实现对称性分析。
• 提供了一个反例，其中相互作用势为奇异的，且存在一个吉布斯态破坏了 $ G $-不变性，表明光滑性条件的必要性。
• 该结果将经典梅尔敏-沃格特定理推广至具有连续自旋的二维图上的量子系统。
• 图的二维性对于该量子设定下对称性保护机制的成立至关重要。