[论文解读] A Mesh-free Method Using Piecewise Deep Neural Network for Elliptic Interface Problems

Cuiyu He, Xiaozhe Hu+1 more|arXiv (Cornell University)|May 11, 2020

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics被引用 5

一句话总结

该论文提出了一种基于分段深度神经网络（DNN）的无网格深度最小二乘法，用于求解具有复杂几何形状和不连续解的椭圆界面问题。通过在界面分隔的子区域中使用独立的DNN，并在采样点上通过随机梯度下降最小化最小二乘损失，该方法避免了网格生成和数值积分，实现了高精度，同时通过自适应采样将计算成本降低了高达70%，并能有效捕捉界面附近的奇异性。

ABSTRACT

In this paper, we propose a novel mesh-free numerical method for solving the elliptic interface problems based on deep learning. We approximate the solution by the neural networks and, since the solution may change dramatically across the interface, we employ different neural networks in different sub-domains. By reformulating the interface problem as a least-squares problem, we discretize the objective function using mean squared error via sampling and solve the proposed deep least-squares method by standard training algorithms such as stochastic gradient descent. The discretized objective function utilizes only the point-wise information on the sampling points and thus no underlying mesh is required. Doing this circumvents the challenging meshing procedure as well as the numerical integration on the complex interface. To improve the computational efficiency for more challenging problems, we further design an adaptive sampling strategy based on the residual of the least-squares function and propose an adaptive algorithm. Finally, we present several numerical experiments in both 2D and 3D to show the flexibility, effectiveness, and accuracy of the proposed deep least-square method for solving interface problems.

研究动机与目标

• 开发一种用于椭圆界面问题的无网格数值方法，避免在不规则界面上进行复杂的网格生成和积分计算。
• 通过在每个子域中使用独立的DNN，解决界面处导数跳跃较大的挑战。
• 通过基于残差误差的自适应采样，提高高对比度和奇异界面问题的计算效率。
• 在具有复杂几何形状的2D和3D问题中，展示基于DNN的深度最小二乘公式的有效性和高精度。

提出的方法

• 将椭圆界面问题重新表述为最小二乘最小化问题，以支持通过深度学习进行训练。
• 在界面分隔的两个子域中分别使用两个独立的DNN来近似解，从而更好地捕捉导数不连续性。
• 通过采样点上的均方误差对最小二乘泛函进行离散化，消除了对基于网格积分的依赖。
• 在点数据上使用随机梯度下降（SGD）训练DNN，仅依赖采样点的位置信息。
• 设计一种自适应采样策略，在残差误差较高的区域（尤其是界面附近）添加更多采样点。
• 通过在每个子域中采用分段DNN结构，将方法扩展到多个子域，以处理复杂界面。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于分段DNN的无网格深度学习方法能否有效求解具有复杂或时变界面的椭圆界面问题？
• RQ2 在界面处存在较大导数跳跃的问题中，使用子域内独立DNN是否比使用单个全局DNN具有更高的精度？
• RQ3 基于残差误差的自适应采样能否在保持或提升解精度的同时降低计算成本？
• RQ4 该方法在2D和3D的高对比度和奇异界面问题中表现如何？

主要发现

• 在β1=1且β2=1000的3D问题中，该方法使用子域中361个和449个采样点，实现了1.6241e-03的相对误差，优于均匀采样。
• 对于具有温和对比度的花形界面，自适应采样将采样点数量减少了约70%，同时实现了与均匀采样相当的精度。
• 自适应采样策略成功地在界面附近（尤其是奇异性区域）集中了更多采样点，如误差图和点分布可视化所示。
• 在β2=1000的3D问题中，该方法即使在高对比度下仍保持低误差（1.6241e-03），表明对系数跳跃具有强鲁棒性。
• 对于花形界面，该方法在子域中使用249个和358个采样点，实现了3.7275e-04的相对误差，其性能与使用远为稀疏的50×50均匀网格相当。
• 数值实验证实，分段DNN方法显著提升了对界面处导数不连续解的逼近质量。