[论文解读] A method to compute Segre classes of subschemes of projective space

David Eklund, Christine Jost+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2011

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 9被引用 6

一句话总结

本文提出了一种基础的、符号的和数值的方法，利用剩余相交理论和Bézout型公式，计算复射影空间中子概形的Segre类次数。该方法通过Macaulay2中的Gröbner基和Bertini中的数值同伦方法，实现了高效计算Segre类次数，相较于现有算法展现出显著的速度优势，尤其在高余维或复系数理想的情况下表现更优。

ABSTRACT

We present a method to compute the degrees of the Segre classes of a subscheme of complex projective space. The method is based on generic residuation and intersection theory. It has been implemented using the software system Macaulay2.

研究动机与目标

• 开发一种计算上可访问的方法，用于确定复射影空间中子概形的Segre类次数。
• 提供一种可在Macaulay2中通过Gröbner基和剩余相交理论实现的符号算法。
• 通过Bertini的再生级联算法，将该方法扩展到数值设置，以处理高余维或复系数理想。
• 展示该方法的效率，并与现有算法（如Aluffi的CSM和Macaulay2的euler例程）形成互补。
• 通过Segre类次数计算拓扑不变量（如欧拉示性数），尤其适用于光滑概形。

提出的方法

• 该方法基于Fulton-MacPherson相交理论推导出的递归剩余相交公式，将Segre类次数表示为剩余概形次数的函数。
• 应用一种类似Bézout定理的公式，涉及关于Z的剩余概形，其中剩余概形由商理想 $J_i : I^\infty$ 定义。
• 通过涉及一般线性形式的幂和剩余概形 $R_j$ 次数的方程组，计算Segre类 $s_i$ 的次数。
• 符号实现使用Macaulay2中的Gröbner基计算，从定义理想中求解剩余次数。
• 数值实现利用Bertini的再生级联算法，通过数值同伦延续计算剩余次数。
• 该算法设计简洁易懂，仅需基础代数几何知识，无需高级相交理论。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用基础代数几何技术高效计算射影空间中子概形的Segre类次数？
• RQ2 能否利用剩余相交理论推导出一种既计算可行又可数值实现的Segre类次数递归公式？
• RQ3 与现有算法（如Aluffi的CSM和Macaulay2的euler例程）相比，该方法有何性能优势？
• RQ4 在哪些场景下（如高余维或复系数）数值实现优于符号方法？
• RQ5 Segre类次数在多大程度上可恢复拓扑不变量（如欧拉示性数），特别是对光滑概形而言？

主要发现

• 在Macaulay2中的符号实现可高效计算Segre类次数，对于 $\mathbb{P}^6$ 中的有理正常曲线，运行时间低于1秒；对于 $\mathbb{P}^8$ 中的曲面，耗时89秒。
• 对于 $\mathbb{P}^{10}$ 中的有理正常曲线，该方法优于Aluffi的CSM算法，耗时不足180秒，而CSM算法超过3小时。
• 在Bertini中使用同伦延续的数值实现，能够计算符号方法失效或过慢的高余维概形的Segre类次数。
• 该方法通过Segre类次数计算光滑射影概形的拓扑欧拉示性数，结果与Macaulay2的‘euler’例程一致。
• 该算法与现有方法表现出强互补性：在许多例子中比Aluffi的CSM更快，且在复系数或高余维理想下比符号方法更具可扩展性。
• Bertini中的再生级联算法成功计算了Segre类计算所需的剩余次数，证明了数值代数几何在该问题中的可行性。