[论文解读] A micro Lie theory for state estimation in robotics

Joan Solà, Jérémie Deray+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2018

Robotics and Sensor-Based Localization参考文献 11被引用 158

一句话总结

本文提出了一种为机器人状态估计量身定制的最小、实用的微型李群理论，聚焦于直观概念、有用的雅可比矩阵，以及用于 SLAM 和视觉里程计中常用群的 C++ 模板库。

ABSTRACT

A Lie group is an old mathematical abstract object dating back to the XIX century, when mathematician Sophus Lie laid the foundations of the theory of continuous transformation groups. As it often happens, its usage has spread over diverse areas of science and technology many years later. In robotics, we are recently experiencing an important trend in its usage, at least in the fields of estimation, and particularly in motion estimation for navigation. Yet for a vast majority of roboticians, Lie groups are highly abstract constructions and therefore difficult to understand and to use. This may be due to the fact that most of the literature on Lie theory is written by and for mathematicians and physicists, who might be more used than us to the deep abstractions this theory deals with. In estimation for robotics it is often not necessary to exploit the full capacity of the theory, and therefore an effort of selection of materials is required. In this paper, we will walk through the most basic principles of the Lie theory, with the aim of conveying clear and useful ideas, and leave a significant corpus of the Lie theory behind. Even with this mutilation, the material included here has proven to be extremely useful in modern estimation algorithms for robotics, especially in the fields of SLAM, visual odometry, and the like. Alongside this micro Lie theory, we provide a chapter with a few application examples, and a vast reference of formulas for the major Lie groups used in robotics, including most jacobian matrices and the way to easily manipulate them. We also present a new C++ template-only library implementing all the functionality described here.

研究动机与目标

• 激励在机器人领域使用李群概念，以提高估计的精度、一致性和稳定性。
• 提供一个简化的、面向教学的李群理论子集，使机器人研究人员在不需要深入代数前提的情况下也能理解。
• 提供可操作的工具和公式（雅可比计算、指数/对数映射），用于常见的机器人估计问题。
• 展示在扩展卡尔曼滤波、非线性优化和SLAM任务中的适用性。
• 提供开源实现框架，以促进实际应用中的采用。

提出的方法

• 在机器人上下文中介绍李群与李代数的基本概念，避免深入的代数深度。
• 解释以雅可比为中心的流形微积分，以及指数映射与对数映射在状态增量中的作用。
• 给出关于 SO(2)、SO(3)、SE(2) 和 SE(3) 的具体示例及其切向空间与伴随映射。
• 定义便捷的hat/vee 与 Exp/Log 运算符，在李代数向量与群元素之间切换。
• 提供推导对最优估计器至关重要的分析雅可比的指南。
• 提供一个 C++ 头文件库（manif），实现关键群及雅可比支持。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将最小化的李群理论表述为帮助机器人估计任务中的不确定性管理？
• RQ2 哪些实际工具（雅可比推导、映射和模板）能够在常见运动群上实现稳定高效的估计？
• RQ3 如何将微型李群理论应用于机器人中的 EKF、优化和 SLAM 流程？
• RQ4 在李群、它们的代数以及笛卡尔空间之间，哪些具体表示和变换对从业者最有用？

主要发现

• 面向机器人定制的李群理论简明介绍，以严格而易于理解的工具帮助估计。
• 本文强调雅可比计算，并提供实用映射（Exp/Log、hat/vee），在表示之间移动。
• 它覆盖典型的机器人群（SO(2)、SO(3)、SE(2)、SE(3)），及其切向量、伴随和群作用。
• 该方法倡导在切向空间使用实向量表示不确定性，以便于线性代数处理。
• 发布了一个开源的 C++ 头文件库 manif，用以实现所讨论的群和解析雅可比。
• 该材料支持在结构化、教学性的框架内将 LT 概念应用于 EKF、视觉里程计和 SLAM。