[论文解读] A Milstein Scheme for SPDEs

Arnulf Jentzen, Michael Roeckner|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2010

Stochastic processes and financial applications被引用 6

一句话总结

本文提出了一种随机偏微分方程（SPDEs）的无限维版本的米尔斯汀数值格式，利用了一类具有迹类噪声的半线性SPDEs所满足的交换性条件。该方法通过减少计算成本和随机变量数量，实现了比以往算法更高效的模拟，数值结果在随机热方程和随机反应-扩散方程上得到了验证。

ABSTRACT

This article studies an infinite dimensional analog of Milstein's scheme for finite dimensional stochastic ordinary differential equations (SODEs). The Milstein scheme is known to be impressively efficient for SODEs which fulfill a certain commutativity type condition. This article introduces the infinite dimensional analog of this commutativity type condition and observes that a certain class of semilinear stochastic partial differential equation (SPDEs) with multiplicative trace class noise naturally fulfills the resulting infinite dimensional commutativity condition. In particular, a suitable infinite dimensional analog of Milstein's algorithm can be simulated efficiently for such SPDEs and requires less computational operations and random variables than previously considered algorithms for simulating such SPDEs. The analysis is supported by numerical results for a stochastic heat equation and stochastic reaction diffusion equations showing signifficant computational savings.

研究动机与目标

• 将米尔斯汀的有限维格式推广至无限维SPDEs。
• 识别确保高阶弱收敛的无限维交换性条件的类比。
• 为具有乘性迹类噪声的SPDEs开发一种数值高效的模拟算法。
• 在实际SPDE模拟中，展示相对于现有方法的显著计算成本节省。

提出的方法

• 通过将有限维交换性条件推广至希尔伯特空间值SDEs，推导出米尔斯汀格式的无限维版本。
• 在无限维设定下定义一个交换性条件，确保该格式在无需迭代随机积分的情况下实现强收敛。
• 将该格式应用于由迹类噪声驱动的半线性SPDEs，这些方程自然满足所提出的交换性条件。
• 使用谱配点法或伽辽金逼近方法实现算法，以处理无限维状态空间。
• 在随机热方程和随机反应-扩散方程上对方法进行数值验证。
• 从运算次数和随机变量数量方面，与标准欧拉-马鲁亚马格式及其他现有格式比较计算效率。

实验结果

研究问题

• RQ1 米尔斯汀的高阶格式能否推广至具有乘性噪声的无限维SPDEs？
• RQ2 何种无限维条件能确保在无限维情形下获得与有限维SODEs中相同的效率提升？
• RQ3 具有迹类噪声的SPDEs是否满足该广义交换性条件？
• RQ4 与现有SPDE数值方法相比，所提出的格式在计算成本上如何？
• RQ5 在代表性SPDE模型中，实际可实现的计算成本节省程度如何？

主要发现

• 所提出的无限维米尔斯汀格式在具有迹类噪声的SPDEs上实现了比标准欧拉格式更高的弱收敛阶。
• 交换性条件自然地被一大类半线性SPDEs满足，包括随机热方程和随机反应-扩散方程。
• 与以往算法相比，该格式所需的随机变量和计算操作更少，从而实现了显著的效率提升。
• 数值实验验证了理论预测，显示出在随机热方程和反应-扩散系统中计算成本的可测量降低。
• 该方法可在无需昂贵的迭代随机积分的情况下，实现SPDE的稳定且精确模拟。