[论文解读] A Mixed Finite Element Method for Multi-Cavity Computation in Incompressible Nonlinear Elasticity

Weijie Huang, Zhiping Li|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2018

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics被引用 3

一句话总结

本文提出了一种混合有限元方法，结合了 $Q_2$-$P_1$ 和 $P_2^+$-$P_1$ 参数化等参元，用于计算不可压非线性弹性中的多腔体生长。该方法在理论上被证明是无锁紧且收敛的，数值实验揭示了在临界拉伸阈值 $\lambda_c \in (1.175, 1.180)$ 下，多腔体演化中存在一种新的分岔现象，即随着载荷减小，解从非对称配置转变为对称配置。

ABSTRACT

A mixed finite element method combining an iso-parametric $Q_2$-$P_1$ element and an iso-parametric $P_2^+$-$P_1$ element is developed for the computation of multiple cavities in incompressible nonlinear elasticity. The method is analytically proved to be locking-free and convergent, and it is also shown to be numerically accurate and efficient by numerical experiments. Furthermore, the newly developed accurate method enables us to find an interesting new bifurcation phenomenon in multi-cavity growth.

研究动机与目标

• 开发一种鲁棒的数值方法，用于模拟不可压非线性弹性材料中的多个空化事件，其中大变形和不可压性约束带来了显著挑战。
• 克服在标准有限元方法应用于不可压弹性时常见的锁紧效应，尤其是在空化区域附近。
• 建立一种混合有限元格式，确保多腔体问题的数值稳定性和收敛性。
• 通过数值方法研究在不同载荷条件下多腔体解的分岔行为，特别是对称与非对称腔体构型之间的转变。
• 提供分析与数值证据，证明所提方法能准确捕捉复杂变形模式，包括能量驱动的腔体形态选择。

提出的方法

• 该方法采用两种不同的等参元混合有限元格式：$Q_2$-$P_1$ 用于位移和压力，$P_2^+$-$P_1$ 用于增强位移场的逼近。
• 混合格式引入一个类似压力的拉格朗日乘子 $p$，以弱形式强制不可压性约束 $\det \nabla \mathbf{u} = 1$，避免了强形式强制的需要。
• 通过将阻尼牛顿法应用于由鞍点泛函导出的非线性欧拉-拉格朗日方程，求解离散变分问题。
• 通过扩展先前关于双参数混合元的工作技术，理论上证明该方法无锁紧，且在适当的正则性假设下保证最优收敛性。
• 该格式采用存储能密度 $W(F) = \mu|F|^s + d(\det F)$，其中 $d(\det F)$ 尽管在不可压性下为常数，但在收敛性证明中起关键作用。
• 通过变形梯度和行列式的 $L^2$ 与 $L^1$ 误差范数验证了数值收敛性，结果表明达到最优收敛率。

实验结果

研究问题

• RQ1 多腔体解从非对称构型向对称构型发生分岔的临界载荷参数 $\lambda_c$ 是多少？
• RQ2 随着变形增加，轴对称与非轴对称腔体解之间的能量差如何演化？
• RQ3 在不可压非线性弹性下，多腔体系统中为何一个腔体会比其他腔体长得更大？
• RQ4 能否设计一种混合有限元方法，使其在高度各向异性的大变形下仍保持无锁紧和收敛性？
• RQ5 初始条件如何影响多腔体生长的最终腔体形态？能量最小化在选择稳定构型中起什么作用？

主要发现

• 所提出的混合有限元方法在理论上被证明是无锁紧且收敛的，数值实验验证了其在 $L^2$ 和 $L^1$ 误差下均达到最优收敛率。
• 数值实验表明，当 $\lambda > 1.18$ 时，轴对称解与右侧行为主导解之间的能量差 $E_s - E_r$ 迅速增大，表明系统更倾向于非对称构型。
• 在非轴对称解中，两个腔体的体积比 $v_2/v_1$ 在 $\lambda > 1.18$ 时迅速增长，表明腔体生长存在强烈不对称性。
• 临界转变点 $\lambda_c$ 位于区间 $(1.175, 1.180)$ 内，当载荷减小时，系统从偏好非对称解转变为偏好对称解。
• 该方法成功捕捉了能量上更优构型的自发选择，与 Henao 与 Serfaty 的理论预测一致。
• 发现了一种新的分岔现象：当载荷参数 $\lambda$ 降低至 $\lambda_c$ 以下时，系统从多个稳定形态（非对称或合并腔体）转变为对称且分离良好的构型。