[论文解读] A model for one-dimensional morphoelasticity and its application to fibroblast-populated collagen lattices

Shakti N. Menon, Cameron L. Hall+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2017

Cellular Mechanics and Interactions参考文献 143被引用 5

一句话总结

该论文提出了一维形态弹性模型，通过使用形变梯度的乘法分解和有效应变的演化方程，捕捉成纤维细胞填充的胶原基质（FPCLs）中的组织重构。该模型结合了黏弹性与类似塑性的重构行为，成功再现了当重构被中断时，组织持续收缩后突然再膨胀的实验观测结果。

ABSTRACT

The mechanical behaviour of solid biological tissues has long been described using models based on classical continuum mechanics. However, the classical continuum theories of elasticity and viscoelasticity cannot easily capture the continual remodelling and associated structural changes of biological tissues. Furthermore, models drawn from plasticity theory are difficult to apply and interpret in this context, where there is no equivalent of a yield stress or flow rule. In this work, we describe a novel one-dimensional mathematical model of tissue remodelling based on the multiplicative decomposition of the deformation gradient. We express the mechanical effects of remodelling as an evolution equation for the 'effective strain', a measure of the difference between the current state and a hypothetical mechanically-relaxed state of the tissue. This morphoelastic model combines the simplicity and interpretability of classical viscoelastic models with the versatility of plasticity theory. A novel feature of our model is that while most models describe growth as a continuous quantity, here we begin with discrete cells and develop a continuum representation of lattice remodelling based on an appropriate limit of the behaviour of discrete cells. To demonstrate the utility of our approach, we use this framework to capture qualitative aspects of the continual remodelling observed in fibroblast-populated collagen lattices, in particular its contraction and its subsequent sudden re-expansion when remodelling is interrupted.

研究动机与目标

• 开发一个数学上可处理的组织重构模型，以反映生物组织中持续的结构变化。
• 解决经典弹性理论与黏弹性理论在捕捉主动重构过程方面的局限性。
• 弥合FPCLs中离散细胞行为与连续本构响应之间的鸿沟。
• 再现关键实验现象，例如持续收缩，以及在重构中断后突然再膨胀。
• 提供一个具有物理解释性的框架，将生长、应力与应变演化统一于单一一致的模型中。

提出的方法

• 使用形变梯度的乘法分解，将其划分为弹性部分与重构（类生长）部分。
• 将有效应变 eE 定义为偏离假设的机械松弛状态的偏离程度的度量。
• 通过重构速率 g(x,t) 的物质导数推导出 eE 的演化方程，得到一个带有源项的双曲型对流方程。
• 基于更新拉格朗日应变，采用线性本构关系 σ = E(1 − α⁻¹)，实现应力与有效应变之间的直接关联。
• 将模型与凯尔文-冯·维茨黏弹性定律结合，以实现时间相关的应力松弛行为。
• 利用链式法则与速度梯度关系，在拉格朗日坐标系与欧拉坐标系之间转换方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过连续体模型捕捉成纤维细胞填充胶原基质的动态重构？
• RQ2 有效应变在量化组织偏离松弛状态的机械偏离程度中起什么作用？
• RQ3 当重构被中止时，该模型如何再现实验观测到的收缩后突然再膨胀现象？
• RQ4 一个仅包含一个有效应变演化方程的形态弹性模型，能否再现FPCLs中观察到的复杂机械行为？
• RQ5 应变度量的选择（欧拉应变与拉格朗日应变）如何影响模型的预测能力？

主要发现

• 该模型成功再现了实验中观测到的FPCLs持续收缩现象，其驱动力为持续的重构过程。
• 当重构被中断时，模型预测组织出现突然再膨胀，与实验中组织恢复的现象一致。
• 有效应变的演化由双曲型偏微分方程控制：∂eE/∂t + ∂(eE v)/∂x = ∂v/∂x − g(x,t)，该方程捕捉了应变的对流与生长引起的改变。
• 采用欧拉应变（eE = 1 − α⁻¹）使得应力-应变关系 σ = E eE 保持线性，简化了本构模型，同时保持了物理解释的一致性。
• 在拉格朗日与欧拉框架之间的转换关系经过严格推导，使得两种坐标系下的模型表述保持一致。
• 该模型表明，即使重构源于离散的细胞活动，也可通过适当的连续极限将其视为连续过程。