[论文解读] A model-free version of the fundamental theorem of asset pricing and the super-replication theorem

Beatrice Acciaio, Mathias Beiglböck+2 more|London School of Economics and Political Science Research Online (London School of Economics and Political Science)|Jan 23, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 24被引用 15

一句话总结

本文在离散时间、有限时域的设定下，针对标的资产及其期权，建立了无模型版本的资产定价基本定理与超复制定理。通过假设存在一种具有超线性增长收益的交易期权（例如幂期权），证明了无模型独立套利的存在性等价于存在与观察到的期权价格一致的鞅测度，且在该类测度下，最小超复制成本等于上界无模型价格。

ABSTRACT

We propose a Fundamental Theorem of Asset Pricing and a Super-Replication Theorem in a model-independent framework. We prove these theorems in the setting of finite, discrete time and a market consisting of a risky asset S as well as options written on this risky asset. As a technical condition, we assume the existence of a traded option with a super-linearly growing payoff-function, e.g., a power option. This condition is not needed when sufficiently many vanilla options maturing at the horizon T are traded in the market.

研究动机与目标

• 建立一个不假设标的资产特定随机模型的无模型独立资产定价基本定理。
• 通过引入存在具有超线性增长收益的交易期权这一充分条件，解决弱套利或依赖模型的套利问题。
• 证明无模型超复制定理，表明任意衍生品的最小超复制成本等于其在所有一致鞅测度上期望收益的上确界。
• 将鲁棒对冲与鞅不等式联系起来，证明已知不等式（如Doob的L¹不等式）可通过路径无关的超复制策略推导得出。

提出的方法

• 该框架采用半静态交易策略：在已知价格的期权上持有静态头寸，同时在标的风险资产S上持有动态、自融资头寸。
• 将无模型套利定义为初始成本为零，且在所有可能路径下终端价值严格为正的半静态策略。
• 关键技术条件是存在一种收益函数增长快于线性的交易期权（例如 (x−k)₊²），以确保一致鞅测度的存在性。
• 论文采用所有在路径空间 ℝ₊ᵀ 上的概率测度集合，这些测度与观察到的期权价格一致，并且在这些测度下S是鞅。
• 证明了衍生品Φ的上界无模型价格等于通过半静态策略实现的最小超复制成本。
• 证明技术依赖于凸分析及定价与对冲之间的对偶性，扩展了早期关于Skorokhod嵌入与鲁棒对冲的研究成果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在无模型设定下，无模型独立套利的缺失在何种条件下意味着存在与观察价格一致的鞅测度？
• RQ2 能否将路径依赖衍生品的最小超复制成本表征为在所有一致鞅测度上其期望收益的上确界？
• RQ3 为何存在单一具有超线性收益的期权即可确保在无模型假设下资产定价基本定理的有效性？
• RQ4 经典鞅不等式（如Doob的L¹不等式）能否在无模型框架下，通过路径无关的超复制策略推导得出？
• RQ5 在无模型假设下，上界无模型价格与最小超复制成本之间的精确关系是什么？

主要发现

• 存在一种具有超线性增长收益的交易期权（例如幂期权）可确保无模型独立套利的缺失等价于存在与观察价格一致的鞅测度。
• 任意衍生品Φ的最小超复制成本等于上界无模型价格，后者定义为在所有一致鞅测度上其期望收益的上确界。
• 上界无模型价格始终能在一致鞅测度集合上达到最大值。
• 对于Doob的L¹不等式，构造了一条显式的路径无关超复制策略：supₜ Sₜ ≤ (e/(e−1))(Sₜ log Sₜ + 1) − (log(̄Sₜ) ⋆ S)ₜ，取期望后即推出该不等式。
• 该结果可推广至其他鞅不等式，表明此类不等式可从鲁棒对冲策略中推导，而无需假设概率模型。
• 该框架允许存在无限多条路径依赖期权，并可扩展至仅存在到期日的欧式期权的情形，前提是期权数量足够多。