[论文解读] A Model Structure on the Category of Topological Categories

Ilias Amrani|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 8被引用 9

一句话总结

本文在小拓扑范畴范畴（$\mathbf{Cat}{\mathbf{Top}}$）上构建了一个由可数生成的奎伦模型结构，其中所有对象均为纤维对象。它建立了与$(∞,1)$-范畴上的乔yal模型结构以及单纯范畴上的伯格纳模型结构的奎伦等价，为丰富范畴提供了同伦框架，并在代数K-理论中具有应用。

ABSTRACT

In this article, we construct a cofibrantly generated Quillen model structure on the category of small topological categories $\mathbf{Cat}_{\mathbf{Top}}$. It is Quillen equivalent to the Joyal model structure of $(\infty,1)$-categories and the Bergner model structure on $\mathbf{Cat}_{\mathbf{sSet}}$.

研究动机与目标

• 在小拓扑范畴范畴（$\mathbf{Cat}_{\mathbf{Top}}$）上建立一个由可数生成的奎伦模型结构。
• 确保$\mathbf{Cat}_{\mathbf{Top}}$中所有对象均为纤维对象，从而简化同伦构造。
• 证明$\mathbf{Cat}_{\mathbf{Top}}$与$(\infty,1)$-范畴上的乔yal模型结构之间的奎伦等价。
• 为在更广泛的范畴语境下定义代数$\mathcal{K}$-理论提供一个同伦框架。

提出的方法

• 通过伴随关系转移模型结构，应用引理2.1，将模型结构从$\mathbf{Top}$提升至$\mathbf{Cat}_{\mathbf{Top}}$。
• 通过在$\mathbf{Top}$中的映射空间上诱导的映射以及在$\pi_0$-范畴上的映射来定义弱等价。
• 通过要求映射空间映射在$\mathbf{Top}$中为纤维映射，并满足弱等价的同伦提升条件来定义纤维映射。
• 构造生成的协纤维映射$|U\partial\Delta^n| \to |U\Delta^n|$和生成的可逆协纤维映射$|U\Lambda^n_i| \to |U\Delta^n|$以及$\{x\} \to |\mathcal{H}|$。
• 应用奎伦伴随定理，通过小性、余极限保持性以及对上包络的封闭性来验证模型结构公理。
• 使用单纯和拓扑的神经构造，将拓扑范畴与单纯集及Kan复形联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在$\mathbf{Cat}_{\mathbf{Top}}$上定义一个由可数生成的奎伦模型结构，且所有对象均为纤维对象？
• RQ2 所得到的模型结构是否与$(\infty,1)$-范畴上的乔yal模型结构奎伦等价？
• RQ3 模型结构$\mathbf{Cat}_{\mathbf{Top}}$是否对任意集合的态射存在函子性局部化？
• RQ4 拓扑范畴的同伦性质如何与单纯范畴及$(\infty,1)$-范畴的同伦性质相关联？

主要发现

• 在$\mathbf{Cat}_{\mathbf{Top}}$上存在一个由可数生成的奎伦模型结构，其弱等价由映射空间上的弱等价和$\pi_0$-等价定义。
• $\mathbf{Cat}_{\mathbf{Top}}$中所有对象均为纤维对象，简化了纤维化替换和同伦理论。
• $\mathbf{Cat}_{\mathbf{Top}}$上的模型结构与$(\infty,1)$-范畴上的乔yal模型结构奎伦等价。
• 该模型结构也与$\mathbf{Cat}_{\mathbf{sSet}}$上的伯格纳模型结构奎伦等价。
• 对任意集合$S$的态射，存在函子性局部化$\mathrm{L}_S\mathbf{C}$，在同伦意义下唯一。
• 局部化映射$\mathbf{C} \to \mathrm{L}_S\mathbf{C}$是协纤维映射，且是丰富范畴的包含映射。