[论文解读] A Modified Primal-Dual Weak Galerkin Finite Element Method for Second Order Elliptic Equations in Non-Divergence Form

Chunmei Wang|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2020

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics被引用 6

一句话总结

本文提出了一种用于非散度形式二阶椭圆方程的改进型原-对偶弱伽辽金（M-PDWG）有限元方法，通过消除对偶变量（拉格朗日乘子）来减少自由度和条件数。该方法在离散的 $H^2$、$H^1$ 和 $L^2$ 范数下实现了最优误差估计，数值结果验证了其在光滑与非光滑系数以及凸与非凸区域下的准确性。

ABSTRACT

A modified primal-dual weak Galerkin (M-PDWG) finite element method is designed for the second order elliptic equation in non-divergence form. Compared with the existing PDWG methods proposed in \cite{wwnondiv}, the system of equations resulting from the M-PDWG scheme could be equivalently simplified into one equation involving only the primal variable by eliminating the dual variable (Lagrange multiplier). The resulting simplified system thus has significantly fewer degrees of freedom than the one resulting from existing PDWG scheme. In addition, the condition number of the simplified system could be greatly reduced when a newly introduced bilinear term in the M-PDWG scheme is appropriately chosen. Optimal order error estimates are derived for the numerical approximations in the discrete $H^2$-norm, $H^1$-norm and $L^2$-norm respectively. Extensive numerical results are demonstrated for both the smooth and non-smooth coefficients on convex and non-convex domains to verify the accuracy of the theory developed in this paper.

研究动机与目标

• 解决具有非光滑系数张量的非散度形式二阶椭圆 PDE 的挑战。
• 克服现有原-对偶弱伽辽金（PDWG）方法计算成本高且条件数大的问题。
• 开发一种简化系统，通过消除对偶变量来保持精度与稳定性。
• 在 $H^2$-正则性和 Cordès 型条件下建立最优误差估计。
• 通过在凸与非凸区域上进行大量数值实验，验证该方法的鲁棒性，包括光滑与不连续系数的情形。

提出的方法

• 提出一种改进型原-对偶弱伽辽金（M-PDWG）格式，引入新的双线性形式 $c(\cdot,\cdot)$ 以稳定系统。
• 通过涉及弱 Hessian 和拉格朗日乘子以强制连续性的变分形式来构建该方法。
• 通过舒尔补消去法消除对偶变量，从而得到仅含原变量的简化系统。
• 引入新的双线性项 $c(\cdot,\cdot)$，当适当地选择时，可显著降低条件数。
• 对原变量使用 $C^0$-连续有限元空间，对单元边界使用迹空间，对乘子使用不连续空间。
• 在满足一致椭圆性和 Cordès 条件的分片连续系数张量的多面体网格上应用该方法。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以通过消除对偶变量来简化原-对偶弱伽辽金方法，而不会牺牲精度？
• RQ2 引入新的双线性项 $c(\cdot,\cdot)$ 如何影响所得到线性系统的条件数与条件性？
• RQ3 M-PDWG 方法在具有非光滑或不连续系数张量的问题中表现出怎样的收敛行为？
• RQ4 在 $H^2$-正则性和 Cordès 型条件下，是否可在 $H^2$、$H^1$ 和 $L^2$ 范数下推导出最优误差估计？
• RQ5 该方法在非凸区域和具有不连续系数时的数值表现如何？

主要发现

• M-PDWG 方法将系统简化为仅含原变量的一个方程，与原始 PDWG 格式相比，显著减少了自由度和计算成本。
• 当适当地选择双线性项 $c(\cdot,\cdot)$ 时，简化系统的条件数显著降低。
• 在离散的 $H^2$-范数下推导出最优阶误差估计，对于 $P_2$ 单元，收敛率为 $O(h^2)$。
• 数值上观察到 $L^2$-范数下 $O(h)$ 的收敛率和 $H^1$-范数下 $O(h)$ 的收敛率，与光滑性假设下的理论一致。
• 在 $\Omega_2$ 上具有不连续系数时，拉格朗日乘子在 $L^2$-范数下的收敛率为 $O(h^{0.6})$，与理论预期相符。
• 在 $\Omega_1$ 和 $\Omega_2$ 上的数值结果证实了该方法在凸与非凸区域下，对光滑与非光滑系数均具有鲁棒性能。