[论文解读] A modular functor from state sums for finite tensor categories and their bimodules

Jürgen Fuchs, Gregor Schaumann+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2019

Intracranial Aneurysms: Treatment and Complications被引用 6

一句话总结

本文通过有限张量范畴及其双模范畴上的态叠加法，构建了2-框架 bordisms 的模 functor，为1-流形分配范畴，为2-流形分配函子，且无需半单性或典范结构。关键贡献在于通过双模范畴显式、可计算地实现了映射类群在态空间上的作用，借助一种广义化的双范畴态叠加形式，将Turaev–Viro理论推广至非半单设定。

ABSTRACT

We construct a modular functor which takes its values in the monoidal bicategory of finite categories, left exact functors and natural transformations. The modular functor is defined on bordisms that are 2-framed. Accordingly we do not need to require that the finite categories appearing in our construction are semisimple, nor that the finite tensor categories that are assigned to two-dimensional strata are endowed with a pivotal structure. Our prescription can be understood as a state-sum construction. The state-sum variables are assigned to one-dimensional strata and take values in bimodule categories over finite tensor categories, whereby we also account for the presence of boundaries and defects. Our construction allows us to explicitly compute functors associated to surfaces and representations of mapping class groups acting on them.

研究动机与目标

• 为2-框架 bordisms 构建一个模 functor，将Turaev–Viro理论推广至非半单融合范畴之外的设定。
• 通过有限张量范畴上的双模范畴，提供一种态叠加构造，为1维缺陷流形分配范畴，为2维曲面分配函子。
• 消除输入数据中对典范或球面对称结构的依赖，从而将态叠加构造的适用范围扩展至非半单设定。
• 通过有限范畴的单一路径2-范畴中的自然变换，显式实现映射类群在态空间上的作用。
• 建立一个用于在扩展拓扑量子场论中计算函子与表示的框架，结合范畴代数与缺陷结构。

提出的方法

• 采用态叠加方案，变量被分配至1维分层，取值于有限张量范畴上的双模范畴。
• 通过有限张量范畴上的模范畴为缺陷1-流形分配范畴。
• 通过在一致的双范畴框架中组合可填充圆盘替换与细化替换，为缺陷曲面构造函子。
• 采用并行化过程与框架偏移，确保在2-框架设定下对微分同胚的不变性。
• 应用基于细化替换与公共细化的图解演算，证明替换序列之间的等价性。
• 将有限范畴、左精确函子与自然变换构成的双范畴作为模 functor 的目标。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不假设输入有限张量范畴具有半单性或典范结构的前提下，为2-框架 bordisms 构建模 functor？
• RQ2 如何系统性地利用双模范畴在态叠加构造中为曲面与缺陷分配函子？
• RQ3 细化替换与可填充圆盘替换在确保态叠加构造的不变性与一致性中起什么作用？
• RQ4 在此框架中，如何显式计算映射类群在态空间上的作用？
• RQ5 该构造能否实现完全可计算且范畴化，为映射类群元素提供显式自然变换？

主要发现

• 模 functor 的构造无需输入有限张量范畴具有半单性或典范结构，推广了先前的态叠加模型。
• 该构造为每个2-框架曲面分配一个有限范畴，为每个映射类群元素分配一个自然变换，可通过双模替换显式计算。
• 证明了两个缺陷曲面的细化替换之间等价，确保了态叠加方案的一致性。
• 通过公共细化与双范畴中相关图的交换性，确立了可填充圆盘替换序列的等价性。
• 证明标准细化替换与任何其他创建、消解与湮灭替换序列等价，确保了构造的普遍性。
• 最终结果是一个在有限范畴、左精确函子与自然变换构成的单一路径2-范畴中定义良好且可计算的模 functor。