[论文解读] A moment map picture of relative balanced metrics on extremal Kähler manifolds

Yuji Sano, Carl Tipler|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 19被引用 4

一句话总结

本文为极小Kähler流形上的相对平衡度量建立了扭量映射框架，证明了任意极小度量均可作为特定一参子群对应的 $C^{\infty}$-极限的 $\sigma_k$-平衡度量。该结果将Donaldson在常数量曲率Kähler度量情形下的结果推广至极小情形，并通过扭量映射结构给出了极小度量唯一性与分裂定理的新证明。

ABSTRACT

We give a moment map interpretation of some relatively balanced metrics. As an application, we extend a result of S. K. Donaldson on constant scalar curvature Kähler metrics to the case of extremal metrics. Namely, we show that a given extremal metric is the limit of some specific relatively balanced metrics. As a corollary, we recover uniqueness and splitting results for extremal metrics in the polarized case.

研究动机与目标

• 将Donaldson用于平衡度量的扭量映射框架推广至极小Kähler度量情形。
• 通过群表示与环面作用，为 $\sigma_k$-平衡度量提供扭量映射解释。
• 在紧致等距群假设下，证明当 $k$ 足够大时，极小度量是 $\sigma_k$-平衡度量的 $C^\infty$-极限。
• 利用扭量映射结构与Kempf-Ness理论，重新证明极小度量的唯一性与分裂定理。

提出的方法

• 将 $\sigma_k$-平衡度量定义为量化Calabi流迭代 $T_k$ 的不动点，其中 $\sigma_k \in T_k^c$ 为自同构群复化最大环面中的权。
• 在Hermitian度量空间上使用扭量映射 $\mu^{\sigma_k}$，通过加权作用将 $\sigma_k$-平衡度量表征为扭量映射的零点。
• 应用Kempf-Ness定理与几何不变性理论（GIT），通过扰动论证与一致估计，证明当 $k$ 足够大时 $\sigma_k$-平衡度量存在。
• 利用在缩放 $\omega \mapsto k\omega$ 下的 $C^r$-范数估计，证明 $\sigma_k$-平衡度量在 $C^\infty$-拓扑下收敛于初始极小度量。
• 将最优权 $\sigma_k$ 表征为复化最大环面子群李代数上的特征标，将其与极小向量场联系起来。
• 应用GIT中的Hilbert-Mumford准则，由 $\sigma_k$-平衡度量的稳定性推导出乘积流形上极小度量的分裂性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将常数量曲率情形下用于平衡度量的扭量映射框架推广至极小度量？
• RQ2 在存在非平凡自同构群的情形下，$\sigma_k$-平衡度量对大 $k$ 是否存在，且是否收敛于极小度量？
• RQ3 能否通过扭量映射理论与 $\sigma_k$-平衡逼近，重新证明极小度量的唯一性？
• RQ4 乘积流形上极小度量的分裂性质是否可由 $\sigma_k$-平衡度量在GIT下的稳定性推出？
• RQ5 最优权 $\sigma_k$ 如何与极小向量场及流形上的全纯向量场相关联？

主要发现

• 对任意极小Kähler流形 $(X,L)$ 及其极小度量 $\omega_{ex}$，存在 $k_0 \in \mathbb{N}$，使得对所有 $k \geq k_0$，$(X,L^k)$ 具备第 $k$ 个 $\sigma_k$-平衡度量。
• 序列 $\sigma_k$-平衡度量 $\omega(k)$ 沿着 $k \to \infty$ 在 $C^\infty$-拓扑下收敛于初始极小度量 $\omega_{ex}$。
• 最优权 $\sigma_k$ 被表征为等距群复化最大环面子群李代数上的特征标，从而实现了对极小向量场的量化。
• 在给定 $2\pi c_1(L)$-类内，极小度量的唯一性（模 $(X,L)$ 的自同构）可直接由扭量映射框架与 $\mu^{\sigma_k}$ 零点集的唯一性推出。
• 乘积流形上极小度量的分裂定理得以恢复：若 $X = X_1 \times X_2$ 具备极小度量，则其必为积度量，且每个因子均具备极小度量。
• 在 $C^r$-范数下，$\sigma_k$-平衡度量收敛于 $\omega_{ex}$ 的速率是 $\mathcal{O}(k^{n/2 - q + r})$，通过选择足够大的 $q$ 可使收敛速度任意快。