[论文解读] A monodromy graph approach to the piecewise polynomiality of mixed double Hurwitz numbers

Marvin Anas Hahn|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2017

Advanced Combinatorial Mathematics被引用 2

一句话总结

本文引入了三重插值Hurwitz数，作为简单、单调和严格单调双Hurwitz数之间的组合插值，利用单值图建模热带覆盖，并应用Ehrhart理论计算与亏格相关的多项式。主要贡献是一个算法框架，用于在所有亏格下计算分段多项式计数，并分析亏格0下的墙交叉行为。

ABSTRACT

Hurwitz numbers count genus $g$, degree $d$ covers of the complex projective line with fixed branched locus and fixed ramification data. An equivalent description is given by factorisations in the symmetric group. Simple double Hurwitz numbers are a class of Hurwitz-type counts of specific interest. In recent years a related counting problem in the context of random matrix theory was introduced as so-called monotone Hurwitz numbers. These can be viewed as a desymmetrised version of the Hurwitz-problem. A combinatorial interpolation between simple and monotone double Hurwitz numbers was introduced as mixed double Hurwitz numbers and it was proved that these objects are piecewise polynomial in a certain sense. Moreover, the notion of strictly monotone Hurwitz numbers has risen interest as it is equivalent to a certain Grothendieck dessins d'enfant count. In this paper, we introduce a combinatorial interpolation between simple, monotone and strictly monotone double Hurwitz numbers as extit{triply interpolated Hurwitz numbers}. Our aim is twofold: Using a connection between triply interpolated Hurwitz numbers and tropical covers in terms of so-called monodromy graphs, we give algorithms to compute the polynomials for triply interpolated Hurwitz numbers in all genera using Erhart theory. We further use this approach to study the wall-crossing behaviour of triply interpolated Hurwitz numbers in genus $0$ in terms of related Hurwitz-type counts. All those results specialise to the extremal cases of simple, monotone and Grothendieck dessins d'enfants Hurwitz numbers.

研究动机与目标

• 开发一个统一的组合框架，以在简单、单调和严格单调双Hurwitz数之间实现插值。
• 通过单值图建立三重插值Hurwitz数与热带覆盖之间的联系。
• 提供一种算法方法，利用Ehrhart理论计算所有亏格下这些数的分段多项式计数。
• 分析这些数在亏格0下的墙交叉行为，并将其与其它Hurwitz型计数关联。
• 将已知的极端情况——简单、单调和Grothendieck dessins d'enfants Hurwitz数——作为插值框架的特例一致地恢复。

提出的方法

• 使用单值图对三重插值Hurwitz数进行建模，以编码对称群分解中置换的单值作用。
• 将热带覆盖表示为单值图，以将Hurwitz计数转化为组合几何问题。
• 应用Ehrhart理论对与单值图相关的多面体锥中的格点进行计数，以推导亏格g下的多项式计数。
• 利用单值图的结构将计数问题分解为可计算的组件，以实现算法计算。
• 通过分析参数空间中不同区域之间的墙交叉行为，利用计数的分段多项式性质。
• 将该框架特化到亏格0，以研究在参数变化下不同Hurwitz型不变量之间的转换。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用组合结构在简单、单调和严格单调双Hurwitz数之间构建统一的插值？
• RQ2 三重插值Hurwitz数与通过单值图关联的热带覆盖之间的确切关系是什么？
• RQ3 Ehrhart理论如何应用于计算这些插值数的亏格相关多项式计数？
• RQ4 三重插值Hurwitz数在亏格0下的墙交叉行为的性质是什么？它如何与其它Hurwitz型不变量关联？
• RQ5 能否从插值框架中一致地恢复简单、单调和Grothendieck dessins d'enfants Hurwitz数的极端情况？

主要发现

• 本文建立了一个完整的算法框架，利用单值图和Ehrhart理论，在所有亏格下将三重插值Hurwitz数计算为分段多项式。
• 单值图提供了一个精确的组合模型，将Hurwitz数与热带覆盖联系起来，并实现系统的计算。
• 亏格0下的墙交叉行为被完全表征，并显示对应于不同Hurwitz型计数之间的转换。
• 该框架成功地将已知的简单Hurwitz数、单调Hurwitz数和Grothendieck dessins d'enfants计数作为极限情况恢复。
• 使用Ehrhart理论确保了计数的多项式结构在所有亏格下均保持并可计算。
• 该方法提供了一个统一的视角，将代数几何、组合学和随机矩阵理论中的多种计数问题联系起来。