[论文解读] A monotonicity result for the $q-$fractional operator

Bahaaeldin Abdalla, Thabet Abdeljawad+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2016

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 13被引用 6

一句话总结

本文建立了阶数满足 $0 < \alpha \leq 1$ 的 $q$-分数阶算子的单调性结果，证明了正的 $q$-分数阶导数意味着函数具有 $c_q(\alpha)$-递增行为，反之亦然。此外，本文基于 $c_q(\alpha)$-单调性框架，推导出一个 $q$-分数阶的中值定理。

ABSTRACT

In this article we prove that if the $q-$fractional operator $(~_{q} abla_{qa}^αy)(t)$ of order $00$ is positive such that $y(a) \geq 0$, then $y(t)$ is $c_q(α)-$increasing, $c_q(α)=\frac{1-q^α}{1-q}q^{1-α}$. Conversely, if y(t) is increasing and $y(a)\geq 0$, then $(~_{q} abla_{qa}^αy)(t)\geq 0$. As an application, we proved a $q-$fractional version of the Mean-Value Theorem.

研究动机与目标

• 在 $q$-时间尺度 $T_q$ 上，建立 $q$-分数阶导数与函数行为之间的单调性关系。
• 定义并分析 $c_q(\alpha)$-递增函数，作为 $q$-微积分中经典单调性的推广。
• 将经典分数阶微积分的结果（如中值定理）推广至 $q$-分数阶设定。
• 通过单调性和积分恒等式，为求解 $q$-分数阶微分方程提供理论基础。

提出的方法

• 使用 Caputo 类型的 $q$-分数阶导数 ${}_{q}C_{a}^{\alpha}f(t)$ 及其在 $T_q$ 上通过 $q$-积分表示的表达式。
• 引入系数 $c_q(\alpha) = \frac{1 - q^\alpha}{1 - q} q^{1 - \alpha}$ 以定义 $c_q(\alpha)$-递增函数。
• 应用 $q$-微积分恒等式，包括 $q$-阶乘函数的乘积法则和 nabla $q$-导数。
• 利用 $q$-微积分基本定理和 $q$-积分恒等式，推导出 $q$-分数阶中值定理。
• 使用恒等式 ${}_{q}I_{a}^{\alpha}{}_{q}C_{a}^{\alpha}f(t) = f(t) - f(a)$（其中 $0 < \alpha \leq 1$）建立导数与积分之间的关系。
• 对函数应用算子 ${}_{q}\nabla_{aq}^{\alpha}$，并在 $c_q(\alpha)$-单调性条件下证明符号保持性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，正的 $q$-分数阶导数意味着函数具有 $c_q(\alpha)$-递增行为？
• RQ2 $c_q(\alpha)$-递增行为是否意味着对于 $0 < \alpha \leq 1$，$q$-分数阶导数非负？
• RQ3 能否基于 $c_q(\alpha)$-单调性推导出 $q$-分数阶中值定理？
• RQ4 $q$-分数阶导数与函数在初始点 $a$ 处的取值有何关系？
• RQ5 系数 $c_q(\alpha)$ 在刻画 $q$-分数阶微积分中单调性方面起什么作用？

主要发现

• 若 ${}_{q}\nabla_{qa}^{\alpha}y(t) \geq 0$ 且 $y(a) \geq 0$，则 $y(t)$ 在 $T_q$ 上为 $c_q(\alpha)$-递增。
• 反之，若 $y(t)$ 为 $c_q(\alpha)$-递增且 $y(a) \geq 0$，则 ${}_{q}\nabla_{qa}^{\alpha}y(t) \geq 0$。
• $q$-分数阶中值定理成立：存在 $r_1, r_2 \in \Delta$，使得 $\frac{{}_{q}\nabla_{aq}^{\alpha}f(r_1)}{{}_{q}\nabla_{aq}^{\alpha}g(r_1)} \leq \frac{f(b) - M_q(\alpha,a,b)f(a)}{g(b) - M_q(\alpha,a,b)g(a)} \leq \frac{{}_{q}\nabla_{aq}^{\alpha}f(r_2)}{{}_{q}\nabla_{aq}^{\alpha}g(r_2)}$。
• 系数 $M_q(\alpha,a,b) = \frac{(1-q)a^{1-\alpha}(b-a)_{q}^{\alpha-1}(1-q)_{q}^{-\alpha}}{\Gamma_q(\alpha)\Gamma_q(1-\alpha)}$ 出现在广义中值定理中，当 $a = 0$ 时该系数为零。
• 当 $a = 0$ 时，中值定理退化（因 $M_q(\alpha,0,b) = 0$），标准形式不再适用。
• $c_q(\alpha)$-单调性框架推广了经典单调性，并在 $q$-分数阶导数与离散 $q$-时间尺度上的函数行为之间建立了桥梁。