[论文解读] A Monte Carlo Study of Pairwise Comparisons
本蒙特卡洛研究评估了在不一致程度不同的情况下，几何平均法（GM）与特征向量法（EV）求解成对比较矩阵的准确性。基于对 100 万个 4 至 7 阶互惠矩阵的模拟，研究发现：在欧几里得度量下 GM 表现优于 EV；而在切比雪夫度量下 EV 表现更优，凸显了方法性能对距离度量的依赖性。
Consistent approximations obtained by geometric means ($GM$) and the principal eigenvector ($EV$), turned out to be close enough for 1,000,000 not-so-inconsistent pairwise comparisons matrices. In this respect both methods are accurate enough for most practical applications. As the enclosed Table 1 demonstrates, the biggest difference between average deviations of $GM$ and $EV$ solutions is 0.00019 for the Euclidean metric and 0.00355 for the Tchebychev metric. For practical applications, this precision is far better than expected. After all we are talking, in most cases, about relative subjective comparisons and one tenth of a percent is usually below our threshold of perception.
研究动机与目标
- 通过实证方法评估几何平均法（GM）与特征向量法（EV）在求解成对比较矩阵时的准确性。
- 通过蒙特卡洛模拟研究互惠矩阵中的不一致程度如何影响解的准确性。
- 确定在不同不一致程度和距离度量下，GM 或 EV 方法是否始终产生更准确的解。
- 考察不一致矩阵中排序反转的实践影响，以及解向量向一致解收敛的特性。
提出的方法
- 通过在偏差水平 D = 0.1 至 0.5 范围内扰动元素，生成 1,000,000 个非一致的 4 至 7 阶互惠矩阵。
- 应用几何平均法（GM）与特征向量法（EV）计算解向量，并将其归一化至总和为 1。
- 通过分量除法从解向量重构成对比较矩阵，以计算与原始矩阵之间的距离。
- 使用欧几里得与切比雪夫两种距离度量，衡量解的准确性。
- 使用 C 编程语言进行高速计算（在 100MHz Pentium 上每偏差水平耗时 10 分钟），并使用 APL2 作为验证参考。
- 通过 GM 与 EV 的胜率及所有测试案例中准确度差异（diff）来评估性能。
实验结果
研究问题
- RQ1在控制不一致性的成对比较矩阵中，几何平均法（GM）与特征向量法（EV）中哪一种能产生更准确的解？
- RQ2选择不同的距离度量（欧几里得 vs. 切比雪夫）如何影响 GM 与 EV 方法的相对性能？
- RQ3随着矩阵不一致性的降低，解的准确性是否提高？这一趋势在不同矩阵阶数与方法中是否一致？
- RQ4在不一致矩阵中，排序反转发生的程度如何？是否存在一个不一致性阈值，低于该阈值时排序反转几乎不可能发生？
- RQ5在非一致矩阵中，是否能观察到解向量向一致解收敛的统计趋势？这一现象是否支持 GM 与 EV 方法的实际应用？
主要发现
- 在使用欧几里得距离度量时，几何平均法（GM）产生的解比特征向量法（EV）更准确。
- 在使用切比雪夫距离度量时，特征向量法（EV）优于几何平均法（GM）。
- 对于所有矩阵阶数（4 至 7），随着偏差水平（D）降低，解的准确性均提高，表明不一致性越低，近似效果越好。
- GM 方法在欧几里得度量下表现更优的原因在于其对各元素差异的内在平衡性，这与欧几里得度量的均衡特性相一致。
- EV 方法在切比雪夫度量下表现更优，是由于其优化目标为最小化原始矩阵与重构矩阵之间最大绝对差异。
- 未发现能普遍支持某一方法的解析证明，结果表明方法选择应取决于所选距离度量及具体应用场景。
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