[论文解读] A Mordell-Weil theorem for abelian varieties over fields generated by torsion points

Michael Larsen|ArXiv.org|Mar 18, 2005

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 3被引用 4

一句话总结

本文建立了关于数域上阿贝尔簇在所有挠点生成的域上的Mordell-Weil型定理。利用$ρ_\ell$-表示的伽罗华上同调以及$ρ_\ell$-作用在Tate模上的性质，证明了Mordell-Weil群$A(K^{\mathrm{tor}})$模挠子群是一个自由阿贝尔群，即使其并非有限生成。

ABSTRACT

If A is an abelian variety over a number field K, and L is a (possibly infinite) extension of K generated by torsion points of A, then the quotient of A(L) by its torsion subgroup is a free abelian group.

研究动机与目标

• 将Mordell-Weil定理推广到由数域上阿贝尔簇的所有挠点生成的域上。
• 理解Mordell-Weil群$A(K^{\mathrm{tor}})$的结构，特别是其挠子群商群的性质。
• 证明$A(K^{\mathrm{tor}})/A(K^{\mathrm{tor}})_{\mathrm{tor}}$是自由阿贝尔群，即使其为无限生成。
• 分析Kummer理论与伽罗华上同调在阿贝尔簇背景下的相互作用。

提出的方法

• 使用伽罗华上同调$H^i(G_\ell, T_\ell)$（$i=1,2$）来研究$A(K^{\mathrm{tor}})$的结构。
• 应用当$\ell \gg 0$时$H^i(G_\ell, T_\ell)$的消失性，以推导出有限性与挠子群的消失性。
• 利用Lyndon-Hochschild-Serre谱序列，将伽罗华群的上同调与子群的上同调联系起来。
• 利用Lazard在$\ell$-进李群背景下群上同调与李代数上同调之间的同构。
• 利用$\ell$-进表示的纯性与半单性，证明当$V = T_\ell \otimes \mathbb{Q}_\ell$时，有$H^i(G_\ell, V) = 0$。
• 应用Bogomolov定理，构造$\mathrm{Gal}(K^{\mathrm{tor}}/K)$中的元素，使其在$\ell$-挠点上的固定点行为受控。

实验结果

研究问题

• RQ1 阿贝尔簇在由所有挠点生成的域上的Mordell-Weil群是否为自由阿贝尔群？
• RQ2 当$A(K^{\mathrm{tor}})/A(K^{\mathrm{tor}})_{\mathrm{tor}}$非有限生成时，其是否仍为自由阿贝尔群？
• RQ3 当$\ell \gg 0$时，能否利用$H^i(G_\ell, T_\ell)$的上同调消失性来推导$A(K^{\mathrm{tor}})$的结构性质？
• RQ4 Kummer理论扩张与挠点域在阿贝尔簇背景下在多大程度上相互作用？

主要发现

• 即使无限生成，群$A(K^{\mathrm{tor}})/A(K^{\mathrm{tor}})_{\mathrm{tor}}$仍是自由阿贝尔群。
• 对所有$i \geq 0$，伽罗华上同调$H^i(G_\ell, T_\ell)$是有限的，且当$\ell \gg 0$时消失，特别是对$i=1,2$。
• 当$\rho_\ell$为非零权纯且半单时，上同调$H^i(G_\ell, T_\ell)$消失。
• Mordell-Weil群在$A(K^{\mathrm{tor}})$中的饱和度，对其每个素数$\ell$的$\ell$-饱和度而言，其指数有限，从而保证了自由性。
• $K^{\mathrm{tor}}$对取点的$\ell$-次幂根是封闭的，且群$A(K^{\mathrm{tor}})$对所有$\ell$都是$\ell$-饱和的。
• 该结果可推广至$K_A^{\mathrm{tor}}$的子域$L$，因此对任意阿贝尔簇$B$，均有$B(L)_{\mathrm{tf}}$为自由阿贝尔群。