[论文解读] A Morse Index Theorem and bifurcation for perturbed geodesics on Semi-Riemannian Manifolds

Monica Musso, Jacobo Pejsachowicz+1 more|ArXiv.org|Nov 10, 2003

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 27被引用 7

一句话总结

本文通过用相关一族指标形式的谱流取代有限的Morse指标，建立了半黎曼流形上扰动测地线的广义Morse指标定理，证明其等于共轭点的总签名——即使共轭点非孤立时亦可定义。该结果将此广义指标与拉格朗日子流形中相应路径的Maslov指标联系起来。

ABSTRACT

Perturbed geodesics are trajectories of particles moving on a semi-Riemannian manifold in the presence of a potential. Our purpose here is to extend to perturbed geodesics on semi-Riemannian manifolds the well known Morse Index Theorem. When the metric is indefinite, the Morse index of the energy functional becomes infinite and hence, in order to obtain a meaningful statement, we substitute the Morse index by its relative form, given by the spectral flow of an associated family of index forms. We also introduce a new counting for conjugate points, which need not to be isolated in this context, and prove that the relative Morse index equals the total number of conjugate points. Finally we study the relation with the Maslov index of the flow induced on the Lagrangian Grassmannian.

研究动机与目标

• 将经典Morse指标定理推广至因不定度量导致标准Morse指标为无穷的半黎曼流形上的扰动测地线。
• 通过一族指标形式的谱流，定义不定情形下Morse指标的有意义替代量。
• 提出一种适用于非孤立共轭点的共轭点计数新方案，并证明广义指标等于此类共轭点的总数量（含重数）。
• 建立广义Morse指标与拉格朗日子流形上诱导路径的Maslov指标之间的精确关系。
• 证明广义指标在正则p-测地线的小扰动下保持不变，确保其具有拓扑鲁棒性。

提出的方法

• 将扰动测地线定义为涉及Levi-Civita联络与时间依赖势函数V梯度的二阶常微分方程的解。
• 引入沿p-测地线的Jacobi方程，通过解在两端点处消失来刻画共轭点。
• 用与能量泛函二阶变分相关的一族连续指标形式的谱流，替代有限的Morse指标。
• 通过限制在Jacobi场像的正交补上的度量的符号，定义一种新的共轭点计数方案。
• 利用基于框架的交叉形式计算，建立Maslov指标中的正则交叉点与正则共轭时刻之间的对应关系。
• 证明谱流（广义Morse指标）等于交叉形式符号之和，后者等于共轭点总符号。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将经典Morse指标定理推广至半黎曼流形上因标准Morse指标为无穷而失效的扰动测地线？
• RQ2 在存在不定度量与非孤立共轭点的情况下，是否存在合适的拓扑不变量以替代Morse指标？
• RQ3 即使共轭点非孤立，广义指标是否仍可表示为与共轭点相关的二次型符号之和？
• RQ4 指标形式的谱流与拉格朗日子流形中相关路径的Maslov指标之间有何关系？
• RQ5 广义指标在正则p-测地线的小扰动下是否保持不变？在正则情形下是否与经典共轭指标一致？

主要发现

• 广义Morse指标（定义为指标形式族的谱流）是有限的，且在小p-测地线扰动下保持不变。
• 谱流等于共轭点计数方案的总签名，该方案定义为Jacobi场像的正交补上度量限制的符号之和。
• 当所有共轭时刻均为正则时，广义指标与经典共轭指标 $ i_{ ext{con}}(\theta) $ 一致，验证了与已知结果的一致性。
• 谱流等于拉格朗日子流形中路径 $ \theta_t = \tilde{\theta}_t(l) $ 的Maslov指标，建立了深刻的几何联系。
• 在正则共轭时刻处的交叉形式对应于二次型 $ -\big\bra Jv, v\big\brac $，其符号与正交补上度量形式的符号一致。
• 算子 $ \tilde{\theta}_t $ 的核与Jacobi场在 $ t $ 处导数的像之间的同构保持符号，从而使得广义指标可等同于共轭点符号之和。