[论文解读] A Morse-Smale index theorem for indefinite elliptic systems and bifurcation

Алессандро Порталури, Nils Waterstraat|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2014

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 46被引用 23

一句话总结

本文通过将半黎曼Morse理论推广至偏微分方程组，建立了星形区域上非退化不定椭圆组的Morse-Smale指标定理。它提出了一种基于谱流的指标公式，取代了在不定度量存在时经典的共轭点计数方法，从而实现了在共轭点可能累积的系统中进行分支分析。

ABSTRACT

We generalise the semi-Riemannian Morse index theorem to elliptic systems of partial differential equations on star-shaped domains. Moreover, we apply our theorem to bifurcation from a branch of trivial solutions of semilinear systems, where the bifurcation parameter is introduced by shrinking the domain to a point. This extends recent results of the authors for scalar equations.

研究动机与目标

• 将半黎曼Morse指标定理推广至具有不定主符号的椭圆PDE组。
• 解决在不定设定下共轭点非孤立时经典Morse指标定理失效的问题。
• 利用谱流与Maslov理论，为椭圆组的Morse指标提供一个拓扑指标公式。
• 将指标定理应用于通过区域收缩研究从平凡解出发的分支现象。
• 将先前关于标量方程的结果推广至系统，特别是在共轭点累积的情况下。

提出的方法

• 通过谱流与辛Hilbert空间技巧，将Smale的Morse指标定理推广至星形区域上的不定椭圆组。
• 将Maslov指标应用于与边界数据相关的辛Hilbert空间中拉格朗日子空间的曲线。
• 利用交叉形式与正则交叉瞬时点，通过二次型的符号计算Maslov指标。
• 依赖Fredholm对理论与谱流，定义在连续变形下保持不变的稳健指标不变量。
• 通过区域收缩构造算子路径，以模拟从平凡解出发的分支现象。
• 建立系统Morse指标与相关边值问题Maslov指标之间的对应关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典Morse指标定理能否推广至共轭点可能累积的不定椭圆组？
• RQ2 对于具有不定主符号的系统，Morse指标如何有意义地定义与计算？
• RQ3 在不定设定下，什么拓扑不变量取代了共轭点计数？
• RQ4 Maslov指标如何与区域变形下椭圆系统的谱性质相关联？
• RQ5 该指标公式能否用于检测当区域收缩至一点时半线性椭圆组中的分支现象？

主要发现

• 星形区域上非退化不定椭圆组的Morse指标等于相关算子路径的谱流。
• 本文建立了Morse-Smale指标定理在系统上的推广，用谱流不变量取代了共轭点重数的有限和。
• 即使共轭点累积，边界拉格朗日子空间路径的Maslov指标仍能计算Morse指标。
• 该指标公式在连续变形下具有鲁棒性，并适用于具有区域收缩参数的分支问题。
• 该方法将先前关于标量方程的结果扩展至系统，为具有不定结构的系统提供了分支分析的框架。
• 通过使用谱流与Maslov指标，即使在经典共轭点计数因累积而失效时，也能定义明确的Morse指标。