[论文解读] A much larger class of Frolicher spaces than that of convenient vector spaces may embed into the Cahier topos

Hirokazu Nishimura|ArXiv.org|Aug 6, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 3被引用 8

一句话总结

本文表明，满足“魏尔-指数化”条件的一类更广泛的弗罗利赫空间——其范畴可被全忠实嵌入卡耶尔斯拓扑并保持其笛卡尔闭结构——在某一猜想下成立。该嵌入推广了关于便利向量空间的早期结果，并将解析微分几何扩展至更广泛的光滑空间类别。

ABSTRACT

It is well known that the category of Frolicher spaces and smooth mappings is Cartesian closed. The principal objective in this paper is to show that the full subcategory of Frolicher spaces that believe in fantasy that every Weil functor is really an exponentiation by the corresponding infinitesimal object is also Cartesian closed. Under the assumption that a conjecture holds, it is shown that these Frolicher spaces embed into the Cahier topos with the Cartesian closed structure being preserved.

研究动机与目标

• 将已知的便利向量空间嵌入卡耶尔斯拓扑的结果推广至更广泛的弗罗利赫空间类别。
• 识别并表征一类弗罗利赫空间（称为魏尔-指数化）——其所有魏尔函子均表现为真正的指数运算。
• 证明此类魏尔-指数化弗罗利赫空间的范畴是笛卡尔闭的。
• 建立该范畴到卡耶尔斯拓扑的全忠实嵌入，且保持有限积与指数运算。
• 通过一个猜想，将科克与雷耶斯关于便利向量空间的结果推广至更广泛的光滑空间类别。

提出的方法

• 通过魏尔代数 $W$ 定义弗罗利赫空间 $X$ 的魏尔延拓 $X \times W$，将其扩展为双函子 $\mathbf{FS} \times \mathbf{W} \to \mathbf{FS}$。
• 证明对任意魏尔代数 $W$，函子 $\cdot \otimes W$ 保持积，确保与笛卡尔闭结构的兼容性。
• 引入函子 $\mathbf{J}: \mathbf{FS}_{\mathbf{WE}} \to \mathbf{Sets}^\mathbf{D}$，将魏尔-指数化弗罗利赫空间映射到范畴 $\mathbf{D}$ 上的预层，其中 $\mathbf{D}$ 是 $\mathbb{R}^n$ 上光滑函数的 $\mathcal{C}^\infty$-代数的范畴。
• 通过涉及 $\mathcal{C}^\infty(\mathbb{R}^n, X) \otimes W$ 与 $\hom_{\mathbf{Sets}^\mathbf{D}}(-, \mathbf{J}(X))$ 的范畴同构，证明 $\mathbf{J}$ 保持有限积与指数运算。
• 通过典范嵌入 $\mathcal{C} \hookrightarrow \mathbf{Sets}^\mathbf{D}$ 因子化 $\mathbf{J}$，得到 $\mathbf{J}_\mathcal{C}: \mathbf{FS}_{\mathbf{WE}} \to \mathcal{C}$，即卡耶尔斯拓扑。
• 利用嵌入 $\mathcal{C} \hookrightarrow \mathbf{Sets}^\mathbf{D}$ 保持积与指数运算的事实，因此 $\mathbf{J}_\mathcal{C}$ 继承了笛卡尔闭结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将比便利向量空间更广一类的弗罗利赫空间嵌入卡耶尔斯拓扑，同时保持其笛卡尔闭结构？
• RQ2 弗罗利赫空间需满足何种条件，才能使所有魏尔函子作为无穷小对象的真正指数运算？
• RQ3 此类“魏尔-指数化”弗罗利赫空间的范畴是否仍保持笛卡尔闭性？
• RQ4 函子 $\mathbf{J}$（将弗罗利赫空间映射到 $\mathbf{D}$ 上的预层）在此背景下如何与积和指数运算相互作用？
• RQ5 在猜想假设下，$\mathbf{FS}_{\mathbf{WE}}$ 到卡耶尔斯拓扑的嵌入在多大程度上保持了范畴结构？

主要发现

• 魏尔-指数化弗罗利赫空间的范畴 $\mathbf{FS}_{\mathbf{WE}}$ 是笛卡尔闭的，推广了已知的便利向量空间的笛卡尔闭性。
• 函子 $\mathbf{J}: \mathbf{FS}_{\mathbf{WE}} \to \mathbf{Sets}^\mathbf{D}$ 保持有限积与指数运算，其证明基于涉及 $\mathcal{C}^\infty(\mathbb{R}^n, X) \otimes W$ 与 $\hom_{\mathbf{Sets}^\mathbf{D}}(-, \mathbf{J}(X))$ 的同构。
• 在某一猜想下，复合函子 $\mathbf{J}_\mathcal{C}: \mathbf{FS}_{\mathbf{WE}} \to \mathcal{C}$ 提供了 $\mathbf{FS}_{\mathbf{WE}}$ 到卡耶尔斯拓扑的全忠实嵌入。
• $\mathbf{J}_\mathcal{C}$ 嵌入保持笛卡尔闭结构，即同时保持有限积与指数运算。
• 在嵌入下，魏尔延拓 $X \otimes W$ 对应于与 $W$ 关联的无穷小对象的指数运算。
• 该结果推广了科克与雷耶斯关于便利向量空间嵌入卡耶尔斯拓扑的结果，现可扩展至更广泛的弗罗利赫空间类别。